4.2. Характерные скорости и параметры течения в произвольном сечении одномерного потока

Уравнение Бернулли (4.9) устанавливает баланс энергии в любом сечении одномерного течения. Константа в пра­вой части может быть выражена различным образом. Применим это уравнение к сечению, в котором скорость уменьшается до нуля и, следовательно, поток тормозится; тогда уравнения (4.9) и (4.10) можно записать в следующем виде:

(4.11)

где индексом «*» обозначены параметры заторможенного потока (параметры торможения).

В результате полного торможения потока вся кинетическая энергия направленного движения переходит в теплоту. При полном торможении потока идеального газа температура торможения Т^*, так же как и энтальпия, может иметь только одно вполне определенное значение, в то время как давление тор­можения и плотность ρ* могут принимать любые значения, но такие, при которых отношение остается постоянным.

Рассмотрим другие возможные формы записи уравнения закона сохранения энергии.

С учетом того, что , преобразуем уравнение (4.11) к виду

(4.12)

где а* – скорость распространения звука в полностью заторможенной среде.

Если применить уравнение энергии к сечению потока, в котором давление Р уменьшается до нуля, скорость тече­ния с будет стремиться к некоторому мак­симальному значению См, которая называется максимальной скоростью. Эта скорость отвечает истече­нию газа в пустоту. Следовательно, правая часть уравнения (4.12) может быть выражена через мак­симальную скорость:

При максимальной скорости течения с_м вся тепловая энергия молекул преобразуется в энергию направленного движения.

Из формулы (4.12) может быть получено еще одно выражение для по­стоянной в правой части уравнения энергии. Согласно (4.12) вдоль трубки тока с увеличением скорости с скорость звука а уменьшается. Очевидны при этом пределы возможных изменений с и а: скорость течения может изменяться от нуля до с_м, а скорость звука – от а* до нуля. В одном из сечений трубки тока скорость движения газа с может стать равной местной скорости звука с = а = а_*. В этом частном случае уравнение закона сохранения энергии при­мет вид

(4.13)

Скорость течения, равную местной скорости звука а_*, называют критической скоростью.

Из уравнения энергии, записан­ного в различных формах, следует, что между характерными скоро­стями и параметрами торможения существует определенная связь. Приравнивая правые части уравнения энергии, можем получить соотношение

Из этого соотношения следует, что максимальная скорость равна

Критическая скорость, соответственно, составляет

Кроме того,

и

Тогда справедливо соотношение

Максимальная и критическая скорости зависят от физических свойств газа (показателя адиабаты k) и температуры торможения. Для воздуха при k = 1,4 и R = 287,1 м²/(с²К) м/с, = = 4,45.

Пользуясь уравнением закона сохранения энергии, выразим параметры течения в некотором сечении потока через параметры торможения и скорость в этом сечении. Для этого воспользуемся формулой (4.13), тогда получим

(4.14)

Разделив все члены на с², получим

(4.15)

Введем следующие обозначения для безразмерных скоростей:

и

тогда уравнение (4.15) будет иметь вид

(4.16)

Уравнение (4.16) устанавливает связь между безразмерными скоростями. После простых преобразований получаем

(4.17)

Из выражения (4.17) следует, что

и (4.18)

Из формул (4.18) выразим температуру торможения

Для двух сечений изоэнтропийного потока отношение температур и давлений составляет

, .

Отношение скоростей

Пользуясь формулами (4.18), можно рассчитать относительные давление и плотность газа в произвольном сечении трубки тока в зависимости от безразмерных скоростей, например:

, ,

, .

В практиче­ских расчетах газовых течений может быть использована любая форма записи уравнения закона сохранения энергии и параметры Р, ρ и Т могут быть выра­жены через любую из безразмерных скоростей М, λ, ξ. В зависимости от рассматриваемой задачи целесообраз­но использовать такую безразмерную скорость, которая обеспечивает максимальную простоту окончательных уравнений.

Если в рассматриваемой области потока скорость меньше критической, то течение называется дозвуковым или докритическим, а если больше критической (больше местной скорости звука) – сверхзвуковым или сверх­критическим. Значение безразмерных скоростей М = λ = 1 разделяет области течений с дозвуковыми (докритическими) скоростями и со сверхзвуковыми (сверхкритическими) скоро­стями.

Безразмерные скорости имеют физический смысл.

Число Маха характеризует сжимаемость потока.

,

откуда следует, что квадрат числа М про­порционален отношению кинетической энергии потока к его потен­циальной энергии в данной точке.

Для величины а² справедливо выражение, позволяющее вычислить квадрат скорости звука через энтальпию торможения,

тогда безразмерную скорость λ можно представить в виде

Таким образом, квадрат безразмерной скорости λ пропорционален отношению кинетической энергии потока к его полной энергии i*.