3.4. Уравнения количества движения идеальной сжимаемой жидкости в форме л. Эйлера и и.С. Громеки

Идеальной называют сжимаемую жидкость, в которой отсутствуют силы трения (отсутствует вязкость). Многие практически важные реальные случаи те­чения газа близки по своим свойствам к течению идеальной жидкости.

Для идеальной жидкости μ = 0 и уравнения (3.5) упрощают­ся, так как «вязкие» члены обращаются в нуль. При этом уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Л. Эйлера (см. 3.4)

(3.6)

Так как

то представим уравнения (3.6) с развернутой левой частью

(3.7)

Производные du/dt, dv/dt и dw/dt выражают проекции полного ускорения движущейся частицы идеальной жидкости. Уравнения (3.7) показывают, что ускорение частицы идеальной жидкости вызывается соответ­ствующими изменениями сил давления, действующих на этот эле­мент, и силами внешних полей. Уравнения (3.7) были получены Эйлером в 1759 г.

Особенности движения идеальной жидкой среды могут быть отражены введением в эти уравнения специфи­ческих элементов движения – компонентов вихря, кинетической и потенциальной энергии.

Компоненты угловой скорости ω_x, ω_y и ω_z, могут быть непосред­ственно введены в уравнения движения. Если к левой части первого из уравнений (3.7) добавить, а затем отнять выражения , то после преобразований получим

Так как

то представим уравнения движения (3.7) в форме

(3.8)

Такая запись уравнений количества движения содержит в явной форме величины, характеризую­щие особенности движения жидкости как деформируемой среды. Эти уравне­ния включают компоненты угловой ско­рости частиц, т.е. члены, характеризую­щие вихревое движение жидкости, кине­тическую энергию и потенциальную энер­гию объемного действия поверхностных сил давления, а также потенциальную энергию массовых сил. Введение этих величин значительно упрощает анализ многих сложных видов движения жидко­сти и, в частности, облегчает исследование свойств по­тока в проточной части турбин.

В некоторых частных случаях уравнения (3.8) легко интегрируются. Для этой цели уравнениям движения можно придать простую форму, вводя функцию давления, выражающую потенциал объемного действия поверхностных сил давления,

Если из внешних сил действуют только массовые силы, обладающие потенциалом, то они учитываются пу­тем введения потенциальной функции U, частные производные от которой по координатам выражают проекции единичных массовых сил на оси координат,

Тогда уравнения (3.8) принимают следующую форму:

(3.9)

Уравнения в форме (3.9) были получены профессором Казанского уни­верситета И.С. Громека в 1881 г.

Для установившегося движения , поэтому после умножения обеих частей уравнения (3.9) соответст­венно на dx, dy, dz и суммирования получается выражение

(3.10)

.

Определитель равен нулю:

а) при отсутствии вихрей в жидкости, т.е. когда ;

б) dx/u = dy/v = dz/w;

в) ,

г)

Условия «б» и «в» являются дифференци­альными уравнениями линий тока и вихревых ли­ний (см. 1.3 и 1.4); следовательно, определитель (3.10) равен нулю для линий тока и вихревых линий.

При условии «г»

Во всех перечисленных случаях из (3.10) получаем

Следовательно,

(3.11)

Интеграл (3.11) является уравнением закона сохранения кинетической энергии для элементарной струйки: при установившемся движении идеальной жидкости под действием потенциальных объемных сил суммарная энергия единицы массы сохраняется постоянный вдоль траекто­рии частицы.

Несмотря на то что выражение (3.11) имеет одинаковую форму для всех рассмотренных случаев, смысл его различен в зависимости от условий, в которых оно было получено. Для безвихревого установившегося движения жидкости (случай «а») выражение справедливо для всех точек потока. При выполнении условия «б» или «в» уравнение (3.11) справедли­во только вдоль линии тока или соответственно вдоль вихревой линии. При переходе от одной линии тока к другой или от одной вихревой линии к другому значению постоянной в правой части выражения (3.11) может меняться. При пропорциональности (случай «г») линейных и угловых скорос­тей выражение (3.11) справедливо для всех точек потока. Следовательно, в рассматриваемом частном случае вихревого движения (случай «г») константа в правой части выражения (3.11) сохраняется неизменной для всех вихревых линий. Особенность этого вида движения состо­ит в том, что каждая частица вращается вокруг оси, вдоль кото­рой она движется: направления векторов линейной и угловой скоростей совпадают.

Формулу (3.11) можно преобразовать для практически значимого случая, когда из внешних сил действует только сила тяжести; при этом X = Y = 0, Z= – g (ось z направлена вертикально вверх). Следовательно, dU/dz = g и U = gz. После подстановки этих вели­чин уравнение (3.11) приобретает вид

Для несжимаемой жидкости (ρ = const)

Это выражение называется уравнением Бернулли (закон сохранения энергии для элементарной струйки) по фамилии Д. Бернулли, который его получил.