Ряд распределения;

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция. Тема 2.Точность и надежность навигации.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Ряд распределения;
Функция распределения f(X);
плотность распределения f(x).

Пример ряда распределения.

Направление вектора ветра по маршруту ULLI – UTTT

Δ, град	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	330	∑
Р	0.01	0.05	0.01	0.01	0.01	0.01	0.05	0.15	0.2	0.2	0.2	0.1	1.00

Функция вида F(x) = P(X<x) называется функцией распределения случайной величины Х или интегральной функцией распределения.

Производная функции распределения F(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х.

Функция f(x) позволяет определить вероятность попадания случайной величины на заданный участок от α до β.

Числовые характеристики случайной величины

В связи с тем, что случайные величины починяются различным законам распределения, то они обладают числовыми характеристиками.

Ошибка - в широком смысле - непреднамеренное отклонение от истины или правил.

Ошибка - в узком смысле - отклонение значения измеряемой или теоретически определяемой величины от ее настоящего значения.

Ошибка в определении курсового угла радиостанции

КУР – КУР_изм = ΔКУР

где: КУР – истинное значение;

КУР_изм – измеренное значение;

ΔКУР – ошибка/погрешность определения КУР.

Синонимом.

Погрешность результата измерений - отклонение результата измерения от действительного значения измеряемой величины.

Важнейшие числовые характеристика случайной величины:

- математическое ожидание (m_x);

- дисперсия (разброс) случайной величины (D[X]);

- среднее квадратическое (стандартное) отклонение (σ_х):

При большом количестве случайной величины математическое ожидание соответствует среднему арифметическому:

Математическое ожидание является систематической погрешностью.

Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Дисперсия (разброс) дискретной случайной величины:

Дисперсия (разброс) непрерывной случайной величины:

Если в результате n независимых опытов получены значения х₁, х₂, х₃, …, х_n

случайной величины Х, то для оценки среднего квадратического отклонения может служить соотношение:

2.2. Законы распределения

2.2.1. Нормальный закон распределения

Различные случайные величины подчиняются разным законам распределения. Навигационные ошибки в большинстве подчиняются нормальному закону распределения.

Плотность распределения нормального закона распределения описывается выражением:

где е = 2.71828… - основание натурального логарифма.

Вид кривой f(x) нормального закона распределения следующий:

Рис. 2.1

При наличии выборки случайных величин строится гистограмма распределения случайной величины.

Пример на анализ точности решения топливно-временной задачи

Точность расчета времени полета

При анализе точности определения времени полета для самолета Ил-86 с использование автоматизированной системы навигационных расчетов (GraFlite – GF) и предварительных навигационных расчетов (ПНР) были собранны следующие данные (см. табл. 1):

Таблица 1

№ п/п	Дата 2006 г.	№ самолета	Аэропорт		Time			Примечание
№ п/п	Дата 2006 г.	№ самолета	DEP	LAND	F	GF	t_F-GF
1	03.11	86073	ULLI	UNNT	3:39	3:44	-5
2	03.11	86073	UNNT	ZBAA	-	3:36	-	Данных нет
3	04.11	86073	ZBAA	UNNT	4:09	4:17	-7
4	04.11	86073	UNNT	ULLI	4:21	4:25	-4

5	10.11	86092	ULLI	UNNT	3:47	3:48	-1
6	10.11	86092	UNNT	ZBAA	4:35	4:35	0
7	11.11	86092	ZBAA	UNNT	4:02	4:07	-5
8	11.11	86092	UNNT	ULLI	4:02	4:11	-9

9	17.11	86092	ULLI	UNNT	3:34	3:46	-12
10	17.11	86092	UNNT	ZBAA	4:00	3:48	12
11	18.11	86092	ZBAA	UNNT	4:05	3:53	12
12	18.11	86092	UNNT	ULLI	4:09	4:18	-9

13	20.11	86070	ULLI	HESH	4:47	4:56	-9
14	20.11	86070	HESH	ULLI	4:23	4:42	-19

15	20.11	86092	ULLI	HEGN	4:53	5:01	-8
16	20.11	86092	HEGN	ULLI	4:29	4:44	-15

17	20.11	86073	ULLI	HESH	4:57	4:56	1
18	20.11	86073	HESH	ULLI	4:31	4:42	-11

19	20.11	86094	ULLI	HEGN	4:52	4:56	-4
20	20.11	86094	HEGN	ULLI	4:38	4:44	-6

21	20.11	86106	ULLI	HESH	4:49	4:56	-7
22	20.11	86106	HESH	ULLI	4:25	4:42	-17

23	21.11	86092	ULLI	HEGN	4:55	4:52	3
24	21.11	86092	HEGN	ULLI	4:41	4:46	-5

25	24.11	86092	ULLI	UNNT	3:35	3:43	-8
26	24.11	86092	UNNT	ZBAA	3:54	3:48	6
27	25.11	86092	ZBAA	UNNT	3:47	3:55	-8
28	25.11	86092	UNNT	ULLI	4:02	4:13	-11

29	27.11	86093	ULLI	HEGN	4:38	4:25	-7
30	27.11	86093	HEGN	ULLI	4:45	5:10	-25

31	01.12	86063	ULLI	UNNT	3:37	3:41	-4
32	01.12	86063	UNNT	ZBAA	3:50	3:48	2
33	02.12	86063	ZBAA	UNNT	3:55	4:03	-8
34	02.12	86063	UNNT	ULLI	4:07	4:26	-9

35	11.12	86106	ULLI	HEGN	4:30	4:29	1
36	11.12	86106	HEGN	ULLI	5:02	5:18	-16

37	11.12	86073	ULLI	HEGN	4:52	4:29	23
38	11.12	86073	HEGN	ULLI	5:07	5:15	-8

39	11:12	86063	ULLI	HESH	4:23	4:21	2
40	11:12	86063	HESH	ULLI	5:06	5:15	-9

41	18.12	86070	ULLI	HEGN	4:53	4:58	-5
42	18.12	86070	HEGN	ULLI	4:40	4:39	1

43	18.12	86073	ULLI	HESH	4:46	4:56	-10
44	18.12	86073	HESH	ULLI	4:34	4:48	-14

45	21.12	86063	ULLI	HEGN	4:52	4:43	9
46	21.12	86063	HEGN	ULLI	4:41	4:55	-14

47	21.12	86106	ULLI	HESH	4:43	4:43	0
48	21.12	86106	HESH	ULLI	5:00	4:55	5

49	25.12	86092	ULLI	HEGN	4:19	4:21	-3
50	25.12	86092	HEGN	ULLI	5:05	5:20	-15

51	27.12	86092	ULLI	HEGN	4:40	4:50	-10
52	27.12	86092	HEGN	ULLI	4:40	4:48	-8

53	28.12	86092	ULLI	HESH	4:45	4:43	2
54	28.12	86092	HESH	ULLI	4:36	4:51	-15

55	29.12	86073	ULLI	UNNT	3:47	3:49	-2
56	29.12	86073	UNNT	ZBAA	3:50	3:49	1
57	30.12	86073	ZBAA	UNNT	3:54	4:05	-11
58	30.12	86073	UNNT	ULLI	4:06	4;14	-8

59	30.12	86106	ULLI	HEGN	5:04	4:52	12
60	30.12	86106	HEGN	ULLI	4:46	4:54	-8

61	30.12	86070	ULLI	HESH	4:42	4:49	2
62	30.12	86070	HESH	ULLI	4:55	4:55	0

Ранжированные данные случайной величины Δt_F_-_GF₈₆ представлены в табл. 2:

Таблица 2

_{ΔtF-GF
86 = tF86
- tGF86}

№ п.п	Δt_F-GF 86, мин	Частота	Процент	№ п.п	Δt_F_-_GF₈₆, мин	Частота	Процент
1	-25	1	1,6	15	-4	3	4,9
2	-19	2	3,3	16	-2	2	3,3
3	-17	1	1,6	17	-1	1	1,6
4	-16	1	1,6	18	0	1	1,6
5	-15	3	4,9	19	1	5	8,2
6	-14	2	3,3	20	2	2	3,3
7	-12	1	1,6	21	3	1	1,6
8	-11	3	4,9	22	5	1	1,6
9	-10	2	3,3	23	6	1	1,6
10	-9	4	6,6	24	9	1	1,6
11	-8	9	14,8	25	10	1	1,6
12	-7	2	3,3	26	12	3	4,9
13	-6	1	1,6	27	13	2	3,3
14	-5	4	6,6	28	23	1	1,6
					Итого:	61	100,0

При наличии достаточной выборки производится проверка, какому закону подчиняется случайная величина.

Результирующие данные представлены в табл. 3.

Таблица 3

Параметр	Δt_F_-_GF₈₆
Количество участков полета	61
Размах, мин	48
Минимум, мин	-25
Максимум, мин	23
Сумма Δt_F_-_GF₈₆, ч., мин	-4:32
Среднее (мат. ожидание), мин	-4,5
Двойная СКП (95%), мин	±18,6
Пределы точности, мин	-23÷14
Средняя продолжит. полета, мин	270,4
Относительная погрешность, %	6,9

Размах – абсолютное значение погрешности между минимумом и максимумом.

Пределы точности:

Δt_П = m_t ±2σ_t = -4.5 ± 18.6 = -23.1÷14.1 мин.

Относительная погрешность:

Точность расчета топлива

Разница между фактическим расходом топлива и топливом, рассчитанным по GF без учета КЗТ дана в табл. 4.

Таблица 4

Δq_F_-_GF
86 = q_F86 - q_GF86

№ п.п	Δq_F_-_GFкг	Частота	Процент	№ п.п	Δq_F_-_GF_, кг	Частота	Процент
1	-8573	1	1,6	31	-1143	1	1,6
2	-8111	1	1,6	32	-934	1	1,6
3	-6061	1	1,6	33	-810	1	1,6
4	-5467	1	1,6	34	-692	1	1,6
5	-5399	1	1,6	35	-221	1	1,6
6	-5183	1	1,6	36	-191	1	1,6
7	-4752	1	1,6	37	285	1	1,6
8	-4725	1	1,6	38	308	1	1,6
9	-3899	1	1,6	39	377	1	1,6
10	-3767	1	1,6	40	445	1	1,6
11	-3754	1	1,6	41	590	1	1,6
12	-3680	1	1,6	42	681	1	1,6
13	-3669	1	1,6	43	836	1	1,6
14	-3642	1	1,6	44	913	1	1,6
15	-3396	1	1,6	45	1088	1	1,6
16	-3348	1	1,6	46	1121	1	1,6
17	-3158	1	1,6	47	1603	1	1,6
18	-3033	1	1,6	48	1887	1	1,6
19	-2912	1	1,6	49	2051	1	1,6
20	-2905	1	1,6	50	2225	1	1,6
21	-2791	1	1,6	51	2250	1	1,6
22	-2671	1	1,6	52	2284	1	1,6
23	-2452	1	1,6	53	2360	1	1,6
24	-2339	1	1,6	54	2563	1	1,6
25	-2319	1	1,6	55	2568	1	1,6
26	-2054	1	1,6	56	3236	1	1,6
27	-1995	1	1,6	57	3980	1	1,6
28	-1816	1	1,6	58	5054	1	1,6
29	-1791	1	1,6	59	5756	1	1,6
30	-1349	1	1,6	60	8890	1	1,6
				61	9658	1	1,6
Итого:						61	100,0

Итоговые данные представлены в табл. 5.

Таблица 5

Параметр	Δq_F_-_GF 86
Количество участков полета	61
Минимум, т	-8,6
Максимум, т	9,6
Сумма Δq_F_-_GF 86, т	-52.0
Среднее (мат. ожидание), т	-0,85
2σ (95%), т	±7,1
Пределы точности, т	-8,0÷6,3
Средний расход топлива, т	45,9
Относительная погрешность, %	15,2

Взаимосвязь (корреляция) между погрешностями расчета

времени и топлива

Коэффициент двумерной корреляции устанавливает зависимость между парой случайных величин.

Значение К	Интерпретация
0	взаимосвязь отсутствует
до 0.2	очень слабая взаимосвязь
до 0.5	слабая взаимосвязь
до 0.7	высокая взаимосвязь
до 0.9	очень высокая взаимосвязь
1	пропорциональная линейная зависимость

Коэффициент двумерной корреляции определяется по формуле;

Графическое отображение коэффициента корреляции для оценки точности решения ТВЗ дано на рис. 2.5.

Δq, кг

Δt, мин

К < 1

К = 1

К > 1

Рис. 2.5. Графическое отображение коэффициента корреляции

Применительно для анализа точности решения ТВЗ получим:

Коэффициент корреляции (K_GF) по результатам оценки точности решения ТВЗ соответствует 0,38, что указывает на очень слабую взаимосвязь. Наличие слабой взаимосвязи подтверждается рассеиванием величин, представленным на рис.2.6.

Рис. 2.6. Рассевание величин Δt_F_-_GFи Δq_F_-_GF₈₆ ₈₆,

Функция f(x) позволяет определить вероятность попадания случайной величины Х на заданный участок от α до β:

Расширяя пределы интегрирования от -∞ до +∞, получаем важное соотношение:

Геометрически это означает, что площадь под кривой и осью ох, всегда равна единице.

В навигации часто требуется определить вероятность уклонения ВС от оси ЛЗП. В этом случае принимается предел интегрирования α = 0, а β = х, где х величина уклонения от ЛЗП. Для данного случая получим функцию Ф(х), которая называется функцией Лапласа. Она имеет вид:

Таблица значений функции Лапласа табулирована виде таблиц. С помощью таблицы можно подсчитать вероятность случайной величины в заданный интервал. Формула расчета имеет вид:

где: , а .

α – левая граница, β – правая граница трассы.

При этом следует учитывать, что Ф(-х) = - Ф(х).

Пример.

Определить вероятность выхода ВС за пределы трассы с RNP5 (9.3 км) при наличии оборудовании СНС, для которой σ_х= 5 км, а m_x = 0.

Значение σ_х включает точность определения МВС, точность ввода координат ППМ, точность индикации и точность пилотирования.

Для уклонения вправо: ,

Для уклонения влево:

Вероятность выхода ВС за пределы RNP5 вправо:

X = x₁+ x₂ = 1.9 + 1.9 = 3.8

По таблице для Х = 3.8 находим: P= 0.99989.

Вероятность выхода ВС за пределы RNP5 (9,3 км):

По таблице для х = 3.8 находим: P= 0.99989.

Вероятность нахождения ВС в пределах трассы:

что соответствует вероятность 0.99989.

При определении МВС со средней квадратической погрешностью σ_х= 5 км ВС отвечает требованиям RNP.

Пример.

С какой точностью необходимо определять МВС (σ_х) при m_х = 0 для удовлетворения требованиям RNP1 при нахождении в пределах трассы с вероятностью 0.95.

Для Р = 0.95 по таблице находим х = 1.96.

Из формулы находим:

км

Ответ: σ_x = ±0.94 км, 2σ_x = ±1.88 км.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.09.2019178.18 Кб13Лекция 2_Управление предприятием.doc
#
23.09.201970.66 Кб21Лекция 4_Методы организации производства.doc
#
23.09.2019229.89 Кб17Лекция 6_Основные фонды предприятия.doc
#
23.09.2019137.22 Кб12Лекция 7_Оборотные средства предприятия.doc
#
23.09.2019576.51 Кб18Лекция 8_Персонал предприятия.doc
#
01.04.20251.03 Mб1Лекция. Тема 2.Точность и надежность навигации.doc
#
18.04.2015159.74 Кб20Лет.состав.doc
#
05.09.2019180.22 Кб6Летучка 1 по дисциплине МРР.doc
#
01.07.202532.56 Кб0Летучка 2.docx
#
01.07.202561.42 Кб0Летучка 4..docx
#
18.04.201554.27 Кб17Лицевой счет(4).doc

Ряд распределения;

Функция распределения f(X);

2.2. Законы распре­деления

2.2.1. Нормальный закон распределения

2.2. Законы распределения