Билет 3 вопрос 3.

Телефонные вызовы. Модели потоков вызовов и модели процессов обслуживания.

«Это вопрос о том, как моделировать потоки телефонных вызовов. Ответ простой. При поступлении это показательное распределение интервалов времени между вызовами. Для обслуживания – аналогично.» (с) Зарубин

Потоки вызовов классифицируются по следующим свойствам:

- стационарность – независимость вероятности характеристик от времени. Такая вероятность поступления определенного числа событий за промежуток времени длиной t для стационарного потока не зависит от выбора начала его измерения, а зависит только то длины этого промежутка;

- последействие – вероятность поступления событий в интервале времени (t1 ,t2) зависит от событий, происшедших до момента t1;

- ординарность – вероятность поступления двух и более событий за бесконечно малый интервал времени Δt, есть величина бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем Δt.

Поток вызовов может также задаваться функциями распределения промежутков между вызовами (закон интервалов) или числом вызовов в фиксированные промежутки времени (закон реализаций). Поток, у которого интервалы между вызовами независимы и распределены одинаковым образом, называется рекуррентным. Простейший поток – это рекуррентный

поток, у которого интервалы между вызовами распределены по показательному закону с функцией распределения

F(x) = P{tk < x} = 1 – e–λx ,

где tk – интервал между вызовами; λ – параметр экспоненциального распределе-

ния, численно совпадающий с интенсивностью потока – числом вызовов в единицу времени.

В теории трафика находят применение и другие модели потоков, которые с различной степенью точности отображают характеристики реальных потоков вызовов. Однако чаще всего рассматривают рекуррентные или простейшие (пуассоновские) потоки вызовов.

Простейший поток. Вероятность поступления ровно вызовов за период длительностью определяется распределением Пуассона:

.

Этому потоку присущи три важных свойства: он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Это означает, что . Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется таким законом:

Марковские системы массового обслуживания (СМО)

Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Для задания СМО необходимо задать вероятностные характеристики времени обслуживания одной заявки. Обозначим это время через Tobsl. Величина Tobsl является случайной. Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным, т.е.

Параметр этого распределения m называемая интенсивностью потока обслуживания, есть величина, обратная среднему времени обслуживания, т.е.

При этом под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Если Tobsl представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение, то поток обслуживания является простейшим.

Если входящий поток и все потоки обслуживания простейшие, то процесс, протекающий в СМО, является марковским случайным процессом (цепью) с дискретными состояниями и непрерывным временем. Поэтому СМО, в которой все потоки простейшие, называют марковской СМО.

Таким образом, предположение о показательном законе распределения времени обслуживания и интервала времени между двумя последовательными поступлениями заявок играет исключительную роль в теории массового обслуживания, так как упрощает аналитическое исследование СМО, сводя его к исследованию цепей Маркова.