20. Закон Ома в дифференциальной форме. Закон Джоуля Ленца.

Ома

Если проводник неоднороден по своему составу и/или имеет неодинаковое сечение, то для характеристики тока в различных частях проводника используют закон Ома в дифференциальной форме. Для его вывода выделим внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис.5.8) с образующими, параллельными вектору плотности тока . Если выделенный объем достаточно мал, его можно считать однородным и применить к нему закон Ома:

, где ,

К выводу закона Ома в дифференциальной форме.

Или в векторном виде:

Величина называется коэффициентом электропроводности или проводимостью материала. Единицей измерения σ в СИ является (Ом∙м)-1=См (сименс).

Ленца

Пусть на участке электрической цепи протекает постоянный ток I (рис. 6.7.). Напряжение U на концах этого участка численно равно работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда по этому участку. Это следует из определения напряжения .

Рис. 6.7.

Отсюда работа A = q × U. За время t по участку будет перенесён заряд q = I × t и при этом будет совершена работа:

A = q × U = U × I × t. (6.14)

Это выражение работы электрического тока справедливо для любых проводников.

Работа, совершаемая в единицу времени — мощность электрического тока:

. (6.15)

В системе СИ мощность измеряется в ваттах:

1 Вт = 1 Дж/1 с = 1 В × 1 А.

Работа электрического тока (6.14) может затрачиваться на нагревание проводника, совершение механической работы (электродвигатель) и на химическое действие тока при его течении через электролит (электролиз).

Если химическое действие и механическая работа при течении тока не производятся, то вся работа электрического тока расходуется только на нагревание проводника:

Q = A = U × I × t = I2 × R × t. (6.15)

Закон о тепловом эффекте электрического тока (6.15) был экспериментально установлен независимо английским учёным Д. Джоулем и русским академиком Э.Х. Ленцем. Формула (6.15) — математическая запись закона Джоуля-Ленца в интегральной форме, позволяющая вычислить количество теплоты, выделяющейся в проводнике. Для того, чтобы характеризовать тепловой эффект тока в различных точках проводника, выделим в нём элементарный участок трубки тока (рис. 6.8.). Запишем для этого элемента закон Джоуля-Ленца:

Здесь мы использовали хорошо известные соотношения:

— сопротивление участка;

i = lE — закон Ома в дифференциальной форме;

dV = dl × dS — объём выделенного элемента трубки тока.

Рис. 6.8.

Разделив количество выделившейся теплоты dQ на время dt, получим тепловую мощность электрического тока:

Отнеся эту величину к объёму элемента трубки тока, придём к удельной тепловой мощности:

. (6.16)

Перед нами закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Учитывая, что i = lE = , это выражение можно записать ещё и так: