3. Работай потенциал электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными

На рис. 4.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение   Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна

  Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r1 до r = r2, то можно получить

   

Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r1 и r2 начальной и конечной точек траектории.

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак.

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

 

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля. Работа A12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:

A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2).

  В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

Величина потенциала считается относительно выбранного нулевого уровня.

Потенциал поля точечного заряда

4. Выражение вектора е через потенциал (напряженность как градиент). Эквипотенциальные поверхности.

Для графического распределения потенциала электростатического поля, как и в случае ноля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями- поверхностями, во всех точках которых потенциал

имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы.

С одной стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т.е. электростатические силы,действующие на заряд,всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям.

Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

На рисунке 133 показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии).

Свойства эквипотенциалей:

1) Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна нулю, т. к. .

2) Силовые линии поля в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности).

5. Поток вектора Е через поверхность. Примеры. Теорема Гаусса для вакуума.

6. Поле равномерно заряженной сферы. Поле равномерно заряженного шара.

Сфера

Шар

7. Поле равномерно заряженной плоскости и конденсатора.

8. Поле равномерно заряженного цилиндра (или нити).

9. Дивергенция вектора Е . Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Пример (поле шара).

Теорема Гаусса для напряженности электростатического поля

Пусть в некоторой области пространства известно векторное поле напряженности электростатического поля . Допустим, что в окрестности фиксированной точки пространства имеется элемент поверхности площади , ориентацию которого можно задать с помощью вектора единичной (безразмерной) нормали к этому элементу поверхности. Поскольку элемент поверхности является двусторонним объектом, то направление нормали можно выбрать произвольно. Введем в рассмотрение объект

(1.42)

вектор элемента площади поверхности. В соответствии с (1.42) этот вектор численно равен площади элемента поверхности, имеет размерность площади и направлен вдоль , то есть вдоль нормали к элементу поверхности.

Элемент потока вектора через площадку по определению равен скалярному произведению вектора Е и вектораdS :

.