Условия для векторов e, d и для b, h на границе раздела сред.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).
Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность
.
Выделяя
потоки через основания и боковую
поверхность цилиндра
,
где 
-
значение 
касательной
составляющей усредненное по боковой
поверхности 
.
Переходя к пределу при 
(при
этом
также стремится к нулю), получаем 
,
или окончательно для нормальных
составляющих вектора электрической
индукции
.
Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим
.
Таким
образом, при переходе через границу
раздела диэлектрических сред нормальная
составляющая вектора 
терпит разрыв,
а нормальная составляющая
вектора 
непрерывна.
Граничные
условия для касательных составляющих
векторов D и E следуют из соотношения,
описывающего циркуляцию вектора
напряженности электрического поля.
Построим вблизи границы раздела
прямоугольный замкнутый контур длины lи
высоты h (рис. 2.7).
Учитывая,
что для электростатического поля
,
и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде:
,
где 
-
среднее значение En на боковых
сторонах прямоугольника. Переходя к
пределу при
,
получим для касательных составляющих E
.
Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид
Таким
образом, при переходе через границу
раздела диэлектрических сред касательная
составляющая вектора 
непрерывна,
а касательная составляющая
вектора 
терпит разрыв.
Преломление
линий электрического поля. Из граничных
условий для соответствующих составляющих
векторов E и D следует, что
при переходе через границу раздела двух
диэлектрических сред линии этих векторов
преломляются (рис. 2.8). Разложим
векторы E1 и E2 у границы раздела
на нормальные и тангенциальные
составляющие и определим связь между
углами 
и 
при
условии 
.
Легко видеть, что как для напряженности
поля, так и для индукции справедлив один
и тот же закон преломления линий
напряженности и линий смещения
.
При
переходе в среду с меньшим значением 
угол,
образуемый линиями напряженности
(смещения) с нормалью, уменьшается,
следовательно, линии располагаются
реже. При переходе в среду с большей
линии векторов E и D, напротив,
сгущаются и удаляются от нормали.
Электромагнитное поле при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости. Волновое уравнение.
Рассмотрим волновые уравнения, описывающие различные физические среды. Например, распространение звука в среде описывается уравнением
|
(4.1.) |
где
функция ¦ - описывающая поведение
среды (воздуха) 
-
скорость звука
Далее, если плоская световая волна распространяется вдоль оси x и поляризована так, что электрическое поле E направлено по оси y, то имеем
|
(4.2.) |
где c - скорость света.
Уравнение (4.2) является следствием уравнения Максвелла. Уравнения (4.1.), (4.2.) согласно современному представлению теоретической физики, являются уравнением одномерных волн. Для их вывода используется векторная интерпретация точечного вихря. Уравнения содержат временную координату. Эти два условия говорят о том, что в пространстве можно получить решение непосредственно из его физической сущности.
Так, решением одномерного волнового уравнения
в действительных координатах является функция
,
где 
представляют
жесткое перемещение вдоль оси x (рис.
42, рис. 43).
Рис. 42. Жесткое перемещение плоской волны по направлению действительной оси
Рис. 43. Образование крутящего момента в пространстве при отображении пространства конуса-фильтра делителей нуля