31. Теорема о циркуляции вектора в. Вихрь магнитного поля (rot в).

Токи намагничивания, по своей природе, те же, что и токи проводимости, для которых получены уравнения описывающие магнитное поле в вакууме.

1.   или   - фундаментальное свойство магнитного поля.

2.  Охв или   - справедливо в вакууме, а в магнетиках необходимо учитывать токи намагничивания:  , где   - объемная плотность токов проводимости.

 - теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в магнетиках (веществе): циркуляция вектора магнитной индукции по любому замкнутому контуру в магнетиках равна произведению магнитной постоянной на суммарный ток проводимости и намагничивания сквозь любую замкнутую поверхность, опирающуюся на этот контур.

Распределение и сила токов намагничивания не известны, поэтому эта формула непригодна для расчетов поля.

Преобразуем выражение теоремы о циркуляции в дифференциальной форме, используя связь объемных токов намагничивания с вектором намагничивания: 

,   .

Введем вектор напряженности магнитного поля :

, тогда   - дифференциальная форма теоремы о циркуляции для вектора напряженности.

 - теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна суммарному току проводимости, охваченному этим контуром.

Эта теорема позволяет, по известным токам проводимости, получить функциональную зависимость напряженности магнитного поля от координат в любом магнетике, в том числе и анизотропном.  А/м

Хотя циркуляция вектора напряженности определяется только токами проводимости, сам вектор напряженности включает в себя вектор намагничивания, характеризующий намагниченность среды. Поэтому напряженность магнитного поля не является чисто полевой характеристикой, и в литературе иногда этот вектор называют вспомогательным.

32. Магнитное поле торроида и соленоида.

Соленоид - цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на сердечник. Тороид можно рассматривать как длинный соленоид, свернутый в кольцо (рис. 4,1).

Рис. 4.1. Магнитное поле соленоида

 Длина соленоида L содержит N витков и по нему протекает ток I . Считаем соленоид бесконечно длинным. Эксперимент показал, что внутри соленоида поле однородно, а вне соленоида не однородно и очень слабое (можно считать, равным нулю).

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, охватывающему все N витков, согласно (4,12) равна:

  .                                                             (4,14)

 Интеграл дает Можно представить В виде суммы двух интегралов: по внутренней части контура: и по внешней: , тогда из (4,14) получим:    

     

                                                                                            

 Где В - индукция магнитного поля внутри соленоида; - число витков на единицу длины соленоида.  

Магнитное поле внутри тороида, так же, как в соленоиде, однородно, сосредоточено внутри, вне тороида магнитное поле, создаваемое круговыми токами тороида, равно нулю. Величина магнитного поля в тороиде определяется выражением, причем длина тороида л берется по средней длине тороида (среднему диаметру).

Отметим любопытный факт. Во всех учебниках по физике остался не отмеченным факт существования у соленоида и тороида второго магнитного поля, которое появляется из-за того, что, например, в соленоиде по отношению к средней линии соленоида витки направлены не точно перпендикулярно, а под углом меньше 90 °. Это приводит к появлению тока (эффективного, но равного току I , протекающему через соленоид), вдоль соленоида (рис. 4,2).

 

Рис. 4.2. Второе магнитное поле соленоида

То есть соленоид создает дополнительное магнитное поле, такое же, как и прямолинейный бесконечно длинный проводник с током. Точно так же и для тороида: вдоль средней линии протекает эффективный ток я .  У тороида второе магнитное поле эквивалентно магнитному полю витка с током (рис.4.3). Диаметр этого витка равен диаметру тороида (его средней линии), а магнитное поле тороида (   ​​R - радиус тороида).

Рис. 4.3. Второе магнитное поле тороида