14 Питання Рекурсия

Рекурсия — это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма (процедура или функция) в ходе выполнения ее операторов обращается сама к себе. Вообще, рекурсивным называется любой объект, который частично определяется через себя.

Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:

<двоичный код> ::= <двоичная цифра> | <двоичный код><двоичная цифра>

<двоичная цифра> ::= 0 | 1

Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак "::=" обозначает "по определению есть", знак "|" — "или".

Вообще, в рекурсивном определении должно присутствовать ограничение, граничное условие, при выходе на которое дальнейшая инициация рекурсивных обращений прекращается.

Приведём другие примеры рекурсивных определений.

Пример 1. Классический пример, без которого не обходятся ни в одном рассказе о рекурсии, — определение факториала. С одной стороны, факториал определяется так: n!=1*2*3*...*n. С другой стороны,

Граничным условием в данном случае является n<=1.

double Factorial(int N)

{

double F;

if (N<=1) F=1.; else F=Factorial(N-1)*N;

return F;

}

або

int factorial(int n) {

return !n ? 1 : n * factorial(n - 1);

}

15 Питання Рекурсия

Рекурсия — это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма (процедура или функция) в ходе выполнения ее операторов обращается сама к себе. Вообще, рекурсивным называется любой объект, который частично определяется через себя.

Например, приведенное ниже определение двоичного кода является рекурсивным:

<двоичный код> ::= <двоичная цифра> | <двоичный код><двоичная цифра>

<двоичная цифра> ::= 0 | 1

Здесь для описания понятия были использованы, так называемые, металингвистический формулы Бэкуса-Наура (язык БНФ); знак "::=" обозначает "по определению есть", знак "|" — "или".

Вообще, в рекурсивном определении должно присутствовать ограничение, граничное условие, при выходе на которое дальнейшая инициация рекурсивных обращений прекращается.

Приведём другие примеры рекурсивных определений.

Приклад: ханойські вежі

На дошці — три стрижні: 1, 2, 3. На першому розміщено вежу з n дис-

ків; нижній диск має найбільший діаметр, а діаметр кожного наступного

менший за діаметр попереднього. За один хід із будь-якого стрижня можна

взяти верхній диск і перемістити на інший стрижень, але дозволено класти

диск лише на дошку або на диск більшого діаметра. Треба перемістити

усю вежу зі стрижня 1 на стрижень 3.

Ця гра називається «Ханойські вежі». За легендою, цю гру почали по-

над тисячу років тому ченці в одному монастирі поблизу Ханоя у В’єтнамі.

У ченців було n = 64 диски. Коли вони закінчать гру, настане кінець Все-

світу. Розв’язком цієї гри-задачі є послідовність переносів дисків. Напи-

шемо програму виведення позначень цих переносів.

Щоб перенести вежу з n дисків зі стрижня 1 на стрижень 3, необхідно

перенести вежу з n-1 диска на стрижень 2, потім перенести нижній диск на100

стрижень 3, потім вежу з 2 на 3. При перенесенні вежі з 1 на 2 допоміжним

буде стрижень 3, а при перенесенні з 2 на 3 — 1, причому ніяка інша послі-

довність дій неможлива. Отже, розв’язання задачі для вежі висотою n опи-

сано за допомогою розв’язання для вежі висотою n-1, тобто рекурсивно.

Нехай diskMove(a,b) позначає перенос одного диска зі стрижня a

на стрижень b, а tower(h,a,b,c) — перенесення вежі висотою h з a на

b з використанням стрижня c як допоміжного. За h > 1 виконання

tower(h,a,b,c) буде таким.

tower(h-1,a,c,b);

diskMove(a,b);

tower(h-1,c,b,a)

За h = 1 переносять тільки один диск, тобто виконують

diskMove(a,b). Отже, очевидною є така програма.

#include <iostream>

using namespace std;

void diskMove(int diskFrom, int diskTo)

{ cout << diskFrom << "->" << diskTo << ' ';

return;

}

void tower(int height, int from,int to, int via)

//height - висота, from - з, to - на, via - через

{ if(height==1) diskMove(from,to);

else

{ tower(height-1,from,via,to);

diskMove(from,to);

tower(height-1,via,to,from);

}

}

int main()

{ int n;

cout << "Hanoi towers\n";

cout << "Enter a number of disks>";

cin >> n; if (n<1) n=1;

tower(n,1,3,2);

cout<<endl;

system("pause");return 0;

}

prog018.cpp

Визначимо кількість переносів дисків у вигляді функції s(n), де n — ви-

сота вежі. Очевидно, що s(1) = 1 і s(n) = 2⋅s(n-1)+1. Як бачимо, s(2) = 3,

s(3) = 7, s(4) = 15 тощо. Кожне наступне значення подвоюється з додаван-

ням 1, тому неважко переконатися, що s(n) = 2

n

-1. Значення s(64) приблиз-

но дорівнює 10

19

. Якщо припустити, що ченці переносять один диск щосе-

кунди, то для перенесення такої вежі потрібно більше 10

12

років! У ченців

ще багато роботи…

• Рекурсивна функція без жодного циклу може легко приховати величез-

ні обсяги обчислень. Як і будь-який потужний засіб, рекурсія вимагає

обережного використання