Признак Лейбница сходимости числового ряда.
Признак Лейбница относится к так называемому знакочередующемуся ряду. Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки
(1)
где все pk 0.
Теорема 13.14 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда, взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.
Доказательство.
Пусть дан
ряд (1) и известно, что последовательность
является невозрастающей и бесконечно
малой. Частичную сумму этого ряда
четного
порядка
можно записать в виде
(2)
Т.к. каждая скобка
в (2) неотрицательна, то при возрастании
n
последовательность
не убывает. С другой стороны,
можно переписать в виде
,
(3)
откуда очевидно,
что для любого номера n
будет
.
Таким образом, последовательность
частичных сумм не убывает и ограничена
сверху. В силу Теоремы
3.15 (Теорема
3.15.
Если неубывающая (невозрастающая)
последовательность ограничена сверху
(снизу), то она сходится.)
эта последовательность сходится к
некоторому числу S,
т.е.
.
Из очевидного равенства
и из того, что
,
вытекает, что и последовательность
нечетных
частичных сумм
сходится к S,
т.е.
.
Таким образом, вся последовательность
сходится к S.
Теорема доказана.
Замечание.
Из (2) следует,
что последовательность четных частичных
сумм
сходится к S
не убывая. Аналогично из (3) следует, что
сходится к S
не возрастая, т.е.
(4)
Т.к.
из (4) вытекает
и
.
Т.е.
(5)
Неравенство (5) широко используется для приближенных вычислений с помощью рядов.