33. Критерий Коши сходимости числового ряда.

1. Понятие числового ряда.

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность и образуем из элементов этой последовательности выражение вида

(1)

Выражение (1) принято называть числовым рядом или просто рядом.

Сумму первых n членов данного ряда будем называть n-й частичной суммой данного ряда и обозначать символом S_n, т.е.

.

Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. При этом предел S последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда:

.

В случае, если не существует, ряд называется расходящимся.

2. Критерий Коши сходимости ряда.

Так как вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости его частичных сумм, то мы получим необходимое и достаточное условие сходимости данного ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм. Для удобства приведем формулировку критерия Коши для последовательности. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для  > 0 нашелся номер N такой, что для всех n  N и для всех натуральных p (p = 1, 2, 3,…) .

В качестве следствия из этого утверждения мы получим следующую основную теорему.

Теорема 13.1. (критерий Коши для ряда). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для для  > 0 нашелся номер N такой, что для всех n  N и для всех натуральных p

. (2)

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что величина под знаком модуля в неравенстве (2) равна разности частичных сумм .

Теорема доказана.

Из Теоремы 13.1 можно извлечь два важных следствия.

Следствие 1. Если ряд сходится, то последовательность является бесконечно малой.

Доказательство. Достаточно доказать, что для  > 0 найдется номер N такой, что для всех n  N . Это неравенство непосредственно вытекает из неравенства (2), справедливого для любого p = 1, 2, 3,…, и из Теоремы 3.13 .

Следствие 2. (необходимое условие сходимости ряда). Для сходимости ряда необходимо, чтобы последовательность членов этого ряда являлась бесконечно малой ( ).

Доказательство. Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и для  > 0 найдется номер N₀ такой, что при n  N₀ .

Пусть дано  > 0. По Теореме 13.1 найдется номер N такой, что при n  N и для любого натурального p выполняется неравенство (2). В частности, при p = 1

(при ) (3)

Если теперь взять номер N₀ равным N₀ = N + 1, то при n  N₀ в силу (3) получим , что и требовалось доказать.

33. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами.

Теорема 13.7. (теорема Коши-Макларена). Пусть функция f(x) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой x  m , где m – любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд

(1)

сходится тогда и только тогда, когда существует предел при последовательности

(2)

Доказательство. Пусть k – любой номер, удовлетворяющий условию k  m + 1, а x – любое значение аргумента из сегмента . Т.к. по условию f(x) не возрастает на указанном сегменте, то для всех x из указанного сегмента справедливы неравенства

(3)

Функция f(x) ограниченна и монотонна, следовательно интегрируется на сегменте . Более того, из (3) вытекает, что

или

(4)

Неравенства (4) установлены для любого номера k  m + 1. Запишем эти неравенства для значений , где n – любой номер, превосходящий m.

Складывая почленно записанные неравенства, получим

(5)

Договоримся обозначать символом S_n n-ю сумму ряда (1), равную

(6)

Учитывая (2) и (6), неравенства (5) можно переписать следующим образом

(7)

Неравенства (7) позволяют доказать теорему. Из формулы (2) очевидно, что последовательность является неубывающей. Следовательно, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (1) необходима и достаточна ограниченность последовательности . Из неравенства (7) следует, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность , т.е. когда последовательность сходится.

Теорема доказана.

Пример. Сходимость обобщенного гармонического ряда . Функция убывает и положительна на полупрямой x  1, вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости последовательности , где

Из вида элементов a_n вытекает, что последовательность расходится при и сходится при , при чем в последнем случае .