2). Третье достаточное условие экстремума и перегиба.
Теорема 9.9. Пусть
- n 1 – целое число
- функция имеет производную порядка n в некоторой окрестности точки с и производную порядка n + 1 в самой точке с
- справедливы следующие соотношения:
(1)
Тогда, если n является четным числом, график функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)). Если же n является нечетным числом и, кроме того, , функция имеет локальный экстремум в точке с, точнее, локальный минимум при и локальный максимум при .
Доказательство. (для случая перегиба)
Пусть n
является четным числом. При n
= 2 теорема совпадает с Теоремой
9.8, так что
нужно провести доказательство только
для четного
.
Пусть
.
Из условия
и из Теоремы
8.9 ,
примененной к функции
,
вытекает, что эта функция либо возрастает,
либо убывает в точке с.
Т.к.
,
то и в том, и в другом случае найдется
достаточно малая окрестность точки с,
а пределах которой
справа и слева от с имеет разные знаки.
Заметив это, разложим
в окрестности точки с
по формуле Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа:
(2)
где лежит между с и x. Из (1) и (2) следует
(3)
Так как в пределах
достаточно малой окрестности точки с
функция
имеет разные знаки при x
< c
и при x
> c
и т.к.
всегда лежит между с
и x,
то мы получим, что и
(а в силу четности n
и вся правая часть (3)) имеет разные знаки
при x
< c
и при x
> c.
Но тогда и левая часть (3), т.е.
в пределах достаточно малой окрестности
точки с
имеет разные знаки при x
< c
и при x
> c.
В силу Теоремы
9.7 это
означает, что график функции
имеет перегиб в точке
.
Теорема доказана.
Асимптоты графика функций.
Определение 1. Говорят, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений
или
равно + или -.
Пример. График
функции
имеет вертикальную асимптоту x
= 0, т.к.
(рисунок).
Предположим далее, что функция определена для сколь угодно больших значений аргумента. Для определенности будем рассматривать сколь угодно большие положительные значения.
Определение 2. Говорят, что прямая
(1)
является наклонной
асимптотой
графика функции
при
,
если функция f(x)
представима в виде
,
где
(2)
Теорема 9.10. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту (1), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения
и
(3)
Доказательство.
1). Необходимость. Пусть график функции имеет при асимптоту (1), т.е. для f(x) справедливо представление (2). Тогда
,
2). Достаточность.
Пусть
существуют предельные значения (3).
Второе из этих предельных значений дает
право утверждать, что разность
является бесконечно малой при
.
Обозначив эту бесконечно малую через
,
получим для f(x)
представление (2).
Теорема доказана.
Замечание.
Аналогично определяется наклонная
асимптота и доказывается Теорема 9.10 и
для случая
.