Замечание. Для интервала доказательство аналогично.

Лемма 2. Пусть функция имеет производную f’(x) в некоторой окрестности точки с, причем эта производная непрерывна в точке с.

Тогда, если график функции имеет перегиб в точке , то в пределах достаточно малой -окрестности точки с этот график слева и справа от с лежит по разные стороны от касательной, проведенной через точку .

Доказательство. Выберем  > 0 настолько малым, чтобы на каждом из интервалов и график имел определенное направление выпуклости (различное на интервалах и ). Применяя Лемму 1 к функции по каждому из интервалов и докажем Лемму 2.

Лемма доказана.

Лемма 2 позволяет установить необходимое условие перегиба графика дважды дифференцируемой в данной точке функции.

Теорема 9.6. (необходимое условие перегиба графика функции). Если функция имеет в точке с вторую производную и график этой функции имеет перегиб в точке , то .

Доказательство. Пусть Y – текущая координата касательной , проходящей через точку . Рассмотрим функцию

,

равную разности f(x) и линейной функции . Эта функция, как и функция f(x) имеет в точке с вторую производную. По Лемме 2 в малой окрестности точки с график лежит слева и справа от с по разные стороны от касательной, проходящей через точку , следовательно, функция F(x) в малой окрестности точки с имеет слева и справа от нее разные знаки.

Стало быть, функция F(x) не может иметь в точке с локального экстремума.

Предположим теперь, что . Тогда, поскольку , выполняются условия и функция в силу Теоремы 9.2 имеет в точке с локальный экстремум. Полученное противоречие доказывает, что предположение является неверным, т.е. .

Теорема доказана.

Тот факт, что обращение в нуль второй производной является лишь необходимым условием перегиба графика дважды дифференцируемой функции, вытекает, например, из рассмотрения графика функции . Для нее обращается в нуль в точке x = 0, но ее график не имеет перегиба в точке М(0,0).

33. Достаточные условия перегиба графика функции.

1). Первое достаточное условие перегиба.

Теорема 9.7. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки с и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от с, то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Во-первых, имеет касательную в точке , т.к. из условия теоремы вытекает существование конечной производной f’(c). Далее, из того, что слева и справа от с имеет разные знаки, и из Теоремы 9.4 заключаем, что направление выпуклости слева и справа от с является различным.

Теорема доказана.

2). Второе достаточное условие перегиба.

Теорема 9.8. Если функция имеет в точке с конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что либо возрастает, либо убывает в точке с. Так как , то в обоих случаях найдется такая окрестность точки с, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от с. Но тогда по предыдущей теореме график функции имеет перегиб в точке .

Теорема доказана.