33. Достаточные условия экстремума функции.

Определение. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки с. Говорят, что функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим).

Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум.

1. Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 9.1. Пусть

- точка с является точкой возможного экстремума функции f(x),

- f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с.

Тогда, если в пределах указанной окрестности слева от точки с и справа от точки с, то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство.

1). Пусть слева от точки с и справа от с. Обозначим x₀  c любое значение аргумента из рассматриваемой окрестности. Достаточно доказать, что

Функция f(x) дифференцируема (а следовательно, непрерывна) на сегменте . По формуле Лагранжа (формула конечных приращений)

(1)

где  лежит между c и x₀. Т.к. при и при , то правая часть (1) положительна (отрицательна).

2). Пусть теперь f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от c. Обозначая через x₀ любое значение аргумента, отличное от c, и повторяя проведенные выше рассуждения, мы докажем, что правая часть (1) имеет разные знаки слева и справа от с. Это доказывает отсутствие экстремума в точке с.

Теорема доказана.

Вытекающее из Теоремы 9.1 правило

1). Если при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f’(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум (минимум).

2). Если же при переходе через данную точку с возможного экстремума производная f’(x) не меняет знака, то экстремума в точке с нет.

Пример.

, x = 2 – точка возможного экстремума. Т.к. как слева, так и справа от x = 2, то экстремума в этой точке нет.

(рисунок)

2. Второе достаточное условие экстремума.

Теорема 9.2. Пусть функция f(x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную.

Тогда f(x) имеет в точке с максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что f’(x) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию f’(с) = 0, то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой слева от с и справа от с. Тогда по Теореме 9.1 f(x) имеет в точке с максимум (минимум).

Теорема доказана.

Замечание. Теорема 9.2 имеет более узкую сферу действия, чем Теорема 9.1, т.к. не решает вопрос об экстремуме для случая, когда не существует в точке с, а также .

Пример.

- точки возможного экстремума.

3. Третье достаточное условие экстремума и перегиба.

Теорема 9.9. Пусть

- n  1 – целое число

- функция имеет производную порядка n в некоторой окрестности точки с и производную порядка n + 1 в самой точке с

- справедливы следующие соотношения:

(2)

Тогда, если n является четным числом, график функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)). Если же n является нечетным числом и, кроме того, , функция имеет локальный экстремум в точке с, точнее, локальный минимум при и локальный максимум при .

Доказательство. (для случая экстремума)

Пусть n  1 является нечетным числом и . Т. к. при n = 1 теорема совпадает с Теоремой 9.2, то достаточно провести доказательство для нечетного n  3. Для определенности проведем рассуждения для случая . Для случая они проводятся аналогично.

Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.), примененной к вытекает, что эта функция возрастает в точке с. Т. к., кроме того, , то это означает, что найдется достаточно малая окрестность точки с, в пределах которой отрицательна слева от с и положительна справа от с. Разложим f’(x) в окрестности точки с в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Мы получим, что для всех x из достаточно малой окрестности точки с между с и x найдется точка  такая, что

(3)

Соотношения (2) и условие позволяют переписать (3) в виде

(4)

Т. к.  всегда лежит между c и x, то для всех x из достаточно малой окрестности точки с производная отрицательна при и положительна при . При нечетном n число n – 1 является четным, а поэтому вся правая (а, следовательно, и левая) часть (4) для всех x из достаточно малой окрестности с отрицательна слева от с и положительна справа от с.

На основании Теоремы 9.1 это означает, что функция f(x) имеет локальный минимум в точке с.

Случай рассматривается совершенно аналогично.

Вторая часть теоремы доказана.