18. Предельные точки последовательности. (Два определения и их эквивалентность)

Определение 1. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если из последовательности {x_n} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a.

Определение 2. Число a называется предельной точкой последовательности {x_n}, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Утверждение. Определения 1 и 2 эквивалентны.

В самом деле, пусть a - предельная точка последовательности {x_n} по первому определению, тогда существует подпоследовательность  a, и в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности {x_n}, а это и означает, что точка a является предельной точкой последовательности по определению 2.

Пусть {x_n} - числовая последовательность, и пусть k₁ , k₂ , … , k_n , … - возрастающая последовательность, элементами которой являются натуральные числа. Выберем из последовательности {x_n} элементы с номерами k₁ , k₂ , … , k_n , … , получим вот такую последовательность: , она называется подпоследовательностью последовательности {x_n}. Отметим, что k_n  n. Примеры подпоследовательностей:

1. {x_2n} = x₂ , x₄ , … , x_2n , …

2. = x₁ , x₃ , x₇ , x₁₃ , …

3. {x_n} - сама последовательность.

19. Эквивалентность определений предела функции в точке по Коши и по Гейне.

Определение предела функции по Коши: пусть f(x) определена на множестве X, и a - предельная точка X. Число b называется пределом f(x) при x  a, если   > 0   > 0 такое, что  x  {0 < x - a< }: f(x) - b < .

Определение предела функции в точке a по Гейне:

b называется пределом f(x) при x  a, если  {x_n}  a (x_n  a): {f(x_n)}  b.

[13] Сформулировать отрицание определения предела по Гейне.

Теорема 6.5. Определения предела функции в точке a по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство.

1. Пусть f(x) = b по Коши. (1)

Требуется доказать, что  {x_n}  a (x_n  a) соответствующая последовательность {f(x_n)}  b, то есть   > 0  N,  n > N: f(x_n) - b < . (2). Рассмотрим произвольную последовательность {x_n}  a (x_n  a). Возьмем  > 0. В силу условия (1)   > 0,

 x  {0 <x-a< }: f(x) - b < . (3). В свою очередь, так как {x_n}  a (x_n  a), то для указанного   N,  n > N: 0 <x_n - a <  (4). Из (4) и (3) следует, что  n > N: f(x_n) - b < , то есть выполнено условие (2), что и требовалось доказать.

2. Пусть f(x) = b по Гейне. (5)

Предположим, что f(x)  b по Коши. Тогда   > 0 такое, что   > 0  x {0 <x - a< }: f(x) - b . Возьмем какую-нибудь последовательность {_n}  +0 (_n > 0). Например, можно взять _n = . Согласно сказанному выше,

 _n  x_n  : f(x_n) - b . (7)

Из (6) следует, что {x_n}  a (x_n  a). Отсюда в силу условия (5) следует, что {f(x_n)}  b, и поэтому = 0. С другой стороны, в силу неравенства (7)   > 0. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) = b по Коши.

Теорема доказана.

Примеры.

1. Докажем, что sin не существует (по Гейне).

{x_n} =  0. {f(x_n)} =  1.

{x'_n} =  0. {f(x'_n)} =  -1.

Отсюда следует, согласно определению предела функции по Гейне, что sin не существует.