16. Теорема Больцано-Вейрштрасса.

Теорема 6.2. (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Пусть {x_n} - ограниченная последовательность, то есть все ее элементы лежат на некотором сегменте [a , b].

a  x_n  b (n).

(здесь рисунок)

Разделим сегмент [a , b] пополам. По крайней мере на одной из половин сегмента [a , b] лежит бесконечно много членов последовательности {x_n}, обозначим эту половину через [a₁ , b₁]. Возьмем какой-нибудь : a₁   b₁. Далее разделим сегмент [a₁ , b₁] пополам и обозначим через [a₂ , b₂] ту половину, на которой находится бесконечно много членов последовательности {x_n}. Выберем  [a₂ , b₂], k₂ > k₁. a₂   b₂. Затем разделим сегмент [a₂ , b₂] пополам, и так далее. Продолжая этот процесс, получим стягивающуюся систему сегментов [a₁ , b₁], [a₂ , b₂], … , [a_n , b_n], … (так как b_n-a_n =  0 при n  ), и последовательность , которая является подпоследовательностью последовательности {x_n}.

 n: a_n   b_n. (1)

По теореме 6.1 (Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы)  точка с: lim a_n = lim b_n = c. Отсюда и из неравенства (1) следует, что  c при n  . Таким образом, мы выделили из последовательности {x_n} сходящуюся подпоследовательность.

Теорема доказана.

Определение. Последовательность {x_n} называется неограниченной, если  A > 0  n: x_n > A.

//Замечание: Для неограниченных последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса неверна.

Примеры.

1. {n} = 1, 2, 3, …, n, …

Из {n} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

2. {x_n} = 1, 0, 2, 0, 3, 0, … , n, 0, …

{x_n} - неограниченная подпоследовательность.

{x_2n}  0.

17. Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение: Последовательность {x_n} называется фундаментальной, если   > 0  N,  n >N и  натурального p: x_n+p-x_n < .

Так как m = n+p - тоже произвольное число >N, то определение фундаментальности можно сформулировать следующим образом:   > 0  N,  n >N и  m > N:x_m-x_n < .

Геометрически фундаментальность последовательности {x_n} означает, что для любого сколь угодно малого  существует такой номер N, что любые два члена последовательности с большим, чем N, номерами, отстоят друг от друга не более, чем на .

(здесь рисунок)

Пример: Докажем, что последовательность =1, , , … - фундаментальная. Зададим произвольное  > 0, возьмем N > . Тогда > , и  n >N и  натурального p: x_n+p-x_n = = - < < < . Это и означает, что последовательность - фундаментальная.

Лемма 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - фундаментальная последовательность. Возьмем какое-нибудь положительное , например,  = 1. По определению фундаментальности,  N,  n >N и  m > N:x_m-x_n < 1. Зафиксируем какое-нибудь m₀ > N, тогда < 1 при n >N, или - 1 < x_n < + 1 при n >N. Таким образом, все члены последовательности с номерами n >N лежат в интервале ( - 1, + 1), вне этого интервала лежит только конечное число членов последовательности. Это и означает, что последовательность {x_n} ограничена.

Лемма доказана.

Теорема 6.4 (критерий Коши сходимости последовательности) Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

1. Необходимость. Дано: Последовательность {x_n} сходится. Требуется доказать, что последовательность {x_n} - фундаментальная. Пусть =a. Зададим произв.  > 0.

По определению предела,  N,  n > N:x_n-a < , и  m > N:x_m-a < . Если n > N, m > N, то x_m-x_n=(x_m-a) - (x_n-a) + < .

Это и означает по определению, что последовательность {x_n} - фундаментальная.

Необходимость доказана.

2. Достаточность. Дано: Последовательность {x_n} - фундаментальная. Требуется доказать: {x_n} сходится. По лемме 2, последовательность {x_n} ограничена, следовательно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть = a. Докажем, что = a. Зададим произвольное  > 0. Так как подпоследовательность сходится к a, начиная с некоторого номера N₁ все члены  { - окрестности точки a}, а так как последовательность {x_n} - фундаментальная, то начиная с некоторого номера N₂ все члены x_n отстоят от членов меньше, чем на . Следовательно, начиная с номера N = max (N₁, N₂) все члены последовательности x_n  {- окрестности точки a}, а это и означает, что = a, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Пример: Рассмотрим последовательность {sin n}. Докажем, что эта последовательность расходится. Для этого достаточно доказать, что она не является фундаментальной. Предположим противное: допустим, что {sin n} - фундаментальная. Тогда если   > 0  N,  n >N и  натурального p: x_n+p-x_n= sin(n+p) - sin n< . Возьмем p = 2.

sin(n+2) - sin n< 2sin 1cos(n+1)< .

  > 0  N,  n >N: cos(n+1)< .

=> {cos n} - бесконечно малая, то есть cos n  0 при n  .

cos(n+1) = cos ncos 1- sin nsin 1.

sin n = ( cos ncos 1 - cos(n+1))  0 при n  .

cos n  и sin n  0 при n  . Но это противоречит тому, что cos² n + sin² n =1.

Полученное противоречие доказывает, что последовательность {sin n} расходится.