Замена переменной в неопределенном интеграле.
Замена переменной.
Теорема 5.2. Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на промежутке T, и пусть промежуток X - множество ее значений. Пусть f(x) определена на X и имеет первообразную F(x).
Тогда F((t)) - первообразная для f((t)'(t) на T.
Доказательство.
t
T
: F((t))'
=
'(t)
= f((t)'(t).
Теорема доказана.
Следствие.
=
F((t))
+ С.
F((t))
+ С
=
=
.
Таким образом, = -- формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры:
= [x
=
,dx
=
dt]
=
=
(-
cost
+ C)
=
cos
x
+ C.
,
(a
> 0)
Подынтегральная функция определена для 0 x a.
x = asin2t (asin2t (t)), 0 t , dx = 2asintcostdt
sint
=
,
t
= arcsin
,
cost
=
.
=
2asintcostdt
= 2a
= 2a
=
=a(t
- 1/2sin2t)
+ C
= a(t
-sintcost)
+ C
= a
arcsin
-
+
C.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Теорема 5.3.
Пусть u(x)
и v(x)
определены и дифференцируемы на
промежутке X,
и пусть функция u(x)
и v'(x)
имеет первообразную на промежутке Х,
то есть существует
.
Тогда u(x)v'(x)
также имеет первообразную на промежутке
Х,
и спараведлива формула:
= u(x)v(x)
-
-
формула интегрирования по частям.
Доказательство:
Воспользуемся формулой: (uv)'
= u'v
+ uv'
, vu'
= (uv)'
- uv'.
uv'
имеет первообразную по условию теоремы.
(uv)'
имеет первообразную uv.
Следовательно и vu'
имеет первообразную и справедливо
равенство:
= uv
-
.
Теорема доказана.
Следствие: Так как u'dx=du, v'dx=dv, то формулу интегрирования по частям можно записать в виде:
= uv
-
.
Пример:
=
=[v
= x2,
dex]
= x2ex
-
= x2ex
- 2
=
x2ex
- 2(xex
-
)
=
= ex (x2 - 2x + 2) + C.
Некоторые интегралы
не выражаются через элементарные
функции, например:
,
то есть, класс элементарных функций не
замкнут относительно операции
интегрирования.
Теорема о стягивающейся системе сегментов.
Пусть дана последовательность сегментов [a1 , b1], [a2 , b2], … , [an , bn], … - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.
(здесь рисунок)
n: an an+1<bn+1bn, (1)
и пусть длина n-го сегмента bn - an 0 при n . Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.
Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Доказательство: Из неравенств (1) следует: {an} - неубывающая последовательность, {bn} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [a,b]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как bn - an 0 при n , эти последовательности имеют один и тот же предел. lim an = lim bn = c. Так как {an} - неубывающая последовательность, an<c (n). n: an c bn , то есть c [an , bn] n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d [an , bn] n. Пусть для определенности d > c.
(здесь рисунок)
Но в этом случае bn - an d - c > 0, lim (bn - an) = d - c > 0, что противоречит условию lim (bn - an) = 0. Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.
Теорема доказана.
Эта теорема выражает свойство, которое называется непрерывностью множества вещественных чисел. Множество рациональных чисел этим свойством не обладает.