8. Достаточное условие непрерывности функции в точке.

Пусть f(x) определена на [a, a + ). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f(x) = [x].

(рисунок)

 целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n)  f(n - 0).

Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.

Теорема 3.1

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 ( Если в точке a правое и левое предельные значения функции f(x) равны, то в точке a существует предельное значение этой функции, равное указанным односторонним предельным значениям) следует, что  f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

9. Производная обратной функции.

Теорема 4.3.

Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀)  0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀(где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)= .

Доказательство:

(рисунок)

Из условий теоремы следует:  [a, b]: y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀  (f(a), f(b)). Зададим приращение y  0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение х = f ^-1(y₀ + y) - f ^-1(y₀), причем х  0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

= . (1)

Пусть y  0, тогда х  0 в силу непрерывности обратной функции. Но при х  0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀)  0. Поэтому при y  0 предел правой части равен . Следовательно при y  0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна : f ^-1'(y₀)= .

Теорема доказана.

Примеры:

1). y = sin x, - < x < . sin x  f(x), x = arcsin y. arcsin y  f^-1(y)  x  (- , ) выполнены все условия теоремы 4.3

2). (arcsin y)' = = = =[где sin² x  y²] = . (arcsin x)' = , -1 < x < 1.

3). y = tg x на - < x <

x = arctg y.  x  (- , ) выполнены все условия теоремы 4.3

(arctg y)' = = cos² x = = ; (arctg x)' = .

10. Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = (x), то есть y = f((x))  F(x).

Теорема 4.4. Пусть функция t = (x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = (х₀). Тогда сложная функция F(x) = f((x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)'(х₀) = f'((х₀))'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f((x)) в точке х₀ можно представить в виде: y = f'(t₀)'(х₀)x + (x)x, (1), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное x. Тогда функция t = (x) получит приращение t = ( х₀ + х) - (х₀). Так как t = (x) дифференцируема в точке х₀ +, то t можно представить в виде : t = '(х₀)x + (x)x. (2), где (x)  0 при x  0. (0) = 0. Приращению t соответствует приращение y = f(t₀+t) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то y можно представить в виде:

y = f'(t₀) t + (t)t. (2), где (t)  0 при t  0. (0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим:

y = f'( t₀ )('(х₀)x + [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]x, где [f'(t₀)(x) + '(х₀) + (x)]  (x).

Очевидно, что (x)  0 при х  0, х  0.

Тем самым доказано равенство (1), и, значит, теорема 4.4 доказана.

Примеры:

1. y = x^ ( - любое вещественное число, x > 0). x^ = e^{ln x} = e^ , где t =  ln x ( ln x  (x))

По теореме 4.4 получаем:

(x^)' =(e^)'( ln x)'= (e^) = x^-1. (e^=х^), = х). (x^)' = x^-1.

В частности, если  = ,( )'= x^-1/2= . Если  = -1, то = -1x^-2 = - .

Из правил и формул дифференцирования следует, что производная любой элементарной функции снова есть элементарная функция. Иными словами, класс элементарных функций замкнут относительно операции дифференцирования.

2. y = arccos (arctg e^x )

y' = (-sin (arctg e^x)) e^x = -tg(arctg e^x) =- .

3. y =[u(x)]^v(x). y =e^vlnu. y = u(x^v)' = e^vlnu.(v ln u)' = u^v(v'ln u + v u') = u^vln u v' + vu^v-1u'

(u^v)' = (u^v)' + (u^v)'