Теорема о пределе монотонной ограниченной функции.
f(x) называется 1) возрастающей на X, 2) убывающей на X, 3) невозрастающей на X, 4) неубывающей на X,
если 
и
X,
<
:
1) f( ) < f( ),
2) f( ) > f( ),
3) f( ) f( ),
4) f( ) f( ).
Функции 1) - 4) называются монотонными на X,
функции 1) - 2) называются строго монотонными на X.
Примеры:
1) f(x)
=
-
возрастающая на [0, + ].
2) f(x) =[x]- неубывающая на (-, ).
Пусть f(x)-
ограниченна сверху на X,
то есть
M
>0,
x
X:
f(x)
M.
Число М
называется
верхней гранью функции f(x)
на множестве Х.
Наименьшая из верхних граней ограниченной
сверху на X
f(x)
называется её точной верхней гранью и
обозначается
f(x).
Эквивалентное определение:
Число M называется точной верхней гранью f(x) на X, если:
1) x X: f(x) M.
2) 
<
M
X:
f(
)
>
.
[7] Сформулировать
аналогичное определение точной нижней
грани функции.
f(x).
Пример:
1)
sin
x
= 1,
sin
x
= 0.
2)
sin
x
= 1,
sin
x
= 0.
Различие случаев 1) и 2) в том, что в случае 1) функция принимает значения, равные Sup и Inf, а во втором не принимает.
Теорема 2.7
Пусть f(x)-
монотонная и ограниченная на полупрямой
(а,
+ ),
тогда существует
f(x).
Доказательство:
Пусть, для
определённости f(x)
не убывает и ограничена сверху на (а,
+ ).
Тогда она имеет на (а,
+ )
точную верхнюю грань. Введём обозначение:
f(x)
= b.
Докажем, что
f(x)
= b.
Зададим произвольное > 0 и рассмотрим число b - < b, по определнию точной верхней грани А: f(A) > b - . Так как f(x) f(a) при x A, то f(x) > b - при x A, или b - f(x) < при x A, то есть | f(x) - b | < при x A. а это и означает, что f(x) = b.
Теорема доказана.
Устойчивость знака непрерывной функции.
Определение 1:
Пусть f(x)
определена в некоторой окрестности
точки а.
f(x)
называется непрерывной в точке а
если
f(x)
= f(а)
Примеры:
f(x)
= sin
x
непрерывна в точке х
=0 , так как
sin
x
= 0, и sin
0 = 0, то есть
sin
x
= sin
0.
Рациональная
функция f(x)
=
непрерывна
в любой точке а,
в которой
(а)
0,
так как было
доказано, что
=
(
(а)
0).
Замечаение:
Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде
f(x) = f( x).
Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.
Определение 2.
f(x) называется непрерывной в точке а, если > 0 > 0: | f(x) - f(а) | < при | х - а | < .
Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём = f(a). По определнию 2
> 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < , то есть - f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в - окрестности точки а.
Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в - окрестности точки а.
Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.
Пусть f(x)
определена на [a,
a
+ ).
Функция f(x)
называется непрерывной в точке а
справа, если
f(x)
= f(а).
(то есть f(а
+ 0) = f(а)).
Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.
Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение.