11.18. Векторное произведение двух векторов. Вычислить , если .

20.19. Угол между двумя плоскостями и его определение по известным общим уравнениям плоскостей. Найти угол между плоскостями х+z-7=0 и х+y-8=0.

3. Аффинный репер в трехмерном пространстве? Как понять слова: в пространстве задана система координат?

9. Аффинная система координат. Координаты точки в этой системе. Лежат ли точки

(-1, 2, 3), (3, 2, -1) на одной прямой?

Следствие. Два вектора x1 и x2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда x1 = αx2 или x2 = βx1 при некоторых α, β О R , т.е. когда векторы x1 и x2 коллинеарны.

20. Аффинная и декартова системы координат. Координаты точки пространства. Лежат ли точки (1, 2, 3), (3, 2, 1) на одной прямой?

Тесты (5*1б) (возможно несколько правильных ответов)

21. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1,2,3), В(2,2,3), С(1,2,4).

а)1, б)-1, в)0.5, г) 0.25

22. А(2,-5,3) – вершина треугольника АВС. Найти координаты вершины С, если известно, что АВ=(4,1,1), ВС=(5,-1,5), АС=(9,0,6).

а) (1, 0, 1), б)(9, -6, 10), в)(10, 5, 9), г) (11, -5, 9)

23. Найти координаты единичного вектора, лежащего на биссектрисе угла между осями Оу и Оz.

а) (1/ , 1/ , 0); б) (1/ ,0, 1/ ); в) (0, 1/ , 1/ ); г) (1/ ,1/ , 1/ )

24. При каких и плоскости и –x+3y–2z+1=0 будут параллельны?

а) ; б) ; в) ;

г) .

25. ABCD – параллелограмм. Найти координаты вершин и точки пересечения диагоналей в репере {A, AС, AB}

а)(1/2,0); б)(1, 1/2); в) (0, 1/2); г) (1/2, 1/2).

26. Найти координаты вектора , если а =(1, 0, 0), b =(0, 2, 0), с =(0, 0, 3).

а) (0, 0, 1), б)(0, 0, 0), в)(0, 1, 0), г) (1, 1, 0).

27. Найти проекцию вектора а=(1,1,1) на ось с ортом е= .

а) , б) в) 3/2, г)

28. Найти координаты вектора [SA, BC], если S(0,0,0), A(3,0,0), B(0, 2, 0), C(0,5,0).

а) (9,0,0), б) (0,9,0) в) (0,-9,0), г) (0,0,9)

29. Найти угол (в градусах) между векторами p=(1,0,1) и с = (1,1,0).

а) 30; б) 180; в) 90; г) 60.

30. Найти орт, перпендикулярный вектору а =(3,6,8) и оси абсцисс.

а) (0; 0,6; -0,8;); б) (0; -0,6; 0,8); в) (0; -0,8; 0,6); г) (0; 0,8; -0,6).

31. Найти вектор х, коллинеарный вектору а=(3, 4, 0) и удовлетворяющий условию

(х, а)=–25.

а) (2, 15, -1), б)(20, 0, 15), в)(-15, -20, -13), г) (-15, -20, 0)

32.Даны: и (a, b)= 10 . Найти .

а) 10; б) 11; в) 12; г) 13.

33. В левом декартовом базисе заданы а=(2, 3, -1), b=(-2, 2, 0), с=(3, -2, 0). Вычислить (а,b, c) и определить ориентацию тройки а, b, c.

а) 2; б) 5; в) 3; г) -2.

34. ABCD – параллелограмм с диагональю АD. Найти координаты точки пересечения диагоналей в репере {A, AD, AB}

а) (1/2, 0); б) (1/2, 1/2); в) (0, 1/2); г) (-1/2,-1/2).

35. Найти точку пересечения прямой x=4t+12, y=3t+9, z=t+1 с плоскостью

3x+5y–z– 2=0.

а) (0, 0, 2); б) (0, 0,–2); в) (–2, 0, 1); г) (1, –2, 0)

36. Вектор с перпендикулярен векторам a и b. Угол между a и b равен 30 градусам. Зная, что длины векторов a, b, с равны соответственно 6, 3, 3, вычислить |(a, b, с)|.

а) 29; б) 23, в) 27, г) 25.

37. Даны векторы a=(2, 3,1), b=(3,1,2) и с = (1,2,3). Найти координаты вектора[a, [b, c]].

а) (11, 15, -22); б) (22, -11, -11) в) (-11, 15, -22), г) (-8, -11, -22).

38. Даны векторы a=(3,-1,-2), b=(1,2,-1). Найти координаты вектора 0,5[a- b, a+ b].

а) (5, 7, 1) б)(1, 2, 7) в) (5, 1, 7) г) (2, -1, 7)

39. Найти угол (в градусах) между векторами p=(1,1,0) и a=(1,0,1).

а) 30; б) 45; в) 60; г) 180.

40. Найти единичный вектор перпендикулярный плоскости 4у+3z+13=0.

а) (0; 0,8; 0,6); б) (0; -0,8; 0,6); в) (0; -0,8; -0,6); г) (0; 0,8; -0,6).

41. Найти расстояние от точки (0, 0, 0) до плоскости 3x–4z– 5=0.

а) –1; б) –5; в) 1; г) 5