3. Этапы регрессионного анализа. Мнк. Определение коэффициентов регрессии. Пример.

1.Формулировка задачи. 2.Определение зависимых и независимых переменных. 3. Сбор данных для каждой переменной. 4.формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная/нелин.) 5.определение ф-ии регрессии. 6. Оценка точности регрессионного анализа. 7.Интерпритация полученных данных, оценивается корректность и правдоподобие результатов.

Задача определения коэф-ов ур-ия регрессии сводится к определению минимума функции.

Выберем уравнение регрессии:

- это отклонение.

Сумма квадратов отклонений является наиболее полным критерием отображающим расхождение между совокупностью экспериментальных точек и выбранным уравнением регрессии.

Т. к. функция  функция параметра f(а0;а1;а2;…), то необходимо взять частные производные по каждому параметру и приравнять к нулю, т. е.

решив систему найдем коэ-ты ур-ия регрессии.

Пример:

х	1	1,5	2	2,5	3	3,5
у	0,29	0,81	1,26	1,85	2,5	3

Строим график, определяем уравнение регрессии.

у=а₀+а₁х Уравнение регрессии:

2[(0.29 – a₀ – a₁)+(0.81 – a₀ – 1.5a₁)+(1.26 – a₀ – 2a₁)+(1.85 – a₀ – 2.5a₁)+(2.5 – a₀ – 3a₁)+(3 – a₀ – 3.5a₁)]=0

2[(0.29 – a₀ – a₁)+(0.81 – a₀ – 1.5a₁)1,5+(1,26 – a₀ – 2a₁)2+(1,85 – a₀ – 2,5a₁)2,5+(2,5 – a₀ – 3a₁)3+(3 – a₀ – 3,5a₁)3,5]=0.29+0.81+1.26+1.85+2.5+3 – 6a₀ – 13.5a₁=0

9.72 – 6a₀ – 13.5a₁ =0

0.29+1.215+2.52+4.625+7.5+10.335=26.685

26.685 – 13.5a₀ – 34.75a₁=0 решив систему получим:

У= - 0.85 + 1,097 Х

При увел-ии V выборки увел-е порядка полинома ведет к росту ост дисп, поэтому исп-ют трансциндентную регр-ю, чтобы уменьшить число неопр-х коэф-в. при вычислении коэф-в тран-ой регр-ии реш-ют сис-у нелин ур-ий

Прологорифмируем и вып-м замену.

Решим отн-но новых переменных, произведем обратную замену.

5.Метод множественной корреляции. Определение коэф-ов мн.Корреляции. Пример.

Используют если необходимо исследовать корр-ю связь м/у многими величинами, то исп-ют ур-ие множ-ой корреляции

_{Здесь имеется нелинейная регрессия, а повер-ть регрессии при к=2 и гиперпов-ть при к больше 2. Эту повер-ть наз-ют пов-ю отклика. При построении повер-ти отклика на коорд-х осях факторго простр-ва откл-ся числовые значения параметров.}

Исходный материал заносят в таблицу:

i	X1	X2	. . .	Xk	Y
1	X11	X21	. . .	Xk1	Y1
2	X12	X22	. . .	Xk2	Y2
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
n	X1n	X2n	. . .	Xkn	Yn

Переходят от натурального масштаба к новому масштабу, проведя нормировку всех значений случ-х вел-н по формулам:

Исходный Материал заносят в табл. В новом масштабе

В новом масштабе

Выборочный коэф-т корреляции в этом случае:

Вычесленные по этой сис-ме выборочные коэф-ты равны коэф-ту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе.

Ур-е регр-ии не имеет свободного члена и примет вид:

Коэф-ты находятся из усл-ия:

Найдем частные производные ур-я регрессии:

Сост-м сист-у норм-х уравнений:

Умножим левую и правую части на 1/(N-1).

В рез-те при каждом коэф-те аj получ-ся выборочный коэф-т корреляции:

Получаем систему норм-х ур-ий:

Т.е. коэф-ты корр-ии вычисляются перемножением соотв-х столбцов табл с новыми переменными.

Решив систему рассчитываем коэф-т мн-ой корреляции:

Коэф-т множественной корреляции Служит показателем силы связи в случае множ-ой регрессии, R от 0 до 1.

Для практического использования ур-ия регрессии перейдем к натур. масштабу: