§7. Смешанное произведение векторов

1. Определение и простейшие свойства. В отличие от чисел, у векторов существует не одно, а несколько разных “умножений”. Мы уже рассматривали скалярное умножение векторов. В этом параграфе мы познакомимся еще с одним, в котором участвуют не два, как обычно, а сразу три сомножителя.

Пусть V₃ – ориентированное трехмерное векторное пространство, B = (i,j,k) – его положительно ориентированный ортонормированный базис. Смешанным¹⁰ произведением abc векторов a, b и с называется определитель перехода _{B (a,b,с)}. Подробнее, если в базисе B а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), с(с₁,с₂,с₃), то по определению

(7.1)   abc = .

Прямо из определения смешанного произведения вытекают такие его свойства:

(7.2)  abc = 0 тогда и только тогда, когда векторы a, b и с компланарны.

(7.3)  Смешанное произведение abc положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда базис (a,b,c) положительно (отрицательно) ориентирован.

Для доказательства других свойств нам понадобится

(7.4) Лемма. Определитель перехода от одного ортонормированного базиса пространства V₃ к другому равен 1, если эти базисы одинаково ориентированы, и –1, если они противоположно ориентированы.

 Пусть B = (i,j,k) и D = (i,j,k) – два ортонормированных базиса пространства V₃. Положим а₁ = cos(i,i) = cos(i,i), а₂ = cos(i,j) = cos(j,i), а₃ = cos(i,k) = cos(k,i), b₁ = cos(j,i) = cos(i,j), b₂ = cos(j,j) = cos(j,j), b₃ = cos(j,k) = cos(k,j), c₁ = cos(k,i) = cos(i,k), c₂ = cos(k,j) = cos(j,k), c₃ = cos(k,k) = cos(k,k). Тогда в силу (5.16) векторы базиса B в базисе D имеют координаты i(а₁,а₂,а₃), j(b₁,b₂,b₃), k(с₁,с₂,с₃), а векторы базиса D в базисе B – координаты i(а₁,b₁,c₁), j(a₂,b₂,c₂), k(a₃,b₃,с₃). Отсюда получаем:

_D B =  , _B D =  .

Расписывая получившиеся определители по формуле (6.4) (сделайте это!), находим, что они равны. С другой стороны, согласно (П3), _B D = 1/_D B. Получается, что _B D = 1/_B D, откуда (_B D)² = 1. Значит _B D = 1 или _B D = –1. 

(7.5) Следствие. Смешанное произведение не зависит от выбора положительно ориентированного базиса B . При смене ориентации пространства смешанное произведение меняет знак.

 В самом деле, если B и D – два положительно ориентированных базиса пространства V₃, то в силу леммы _B(a,b,с) = _BD_D(a,b,с) = 1_D(a,b,с) = _D(a,b,с). Если бы базис D ориентирован отрицательно, то _BD = –1 и _{D (a,b,с)} = –_{B (a,b,с)}. 

Допустим теперь, что D = (е₁, е₂, е₃) – произвольный базис пространства V₃, а векторы а(х₁,х₂,х₃), b(y₁,y₂,y₃), с(z₁,z₂,z₃) заданы своими координатами в нем. Тогда по определению abc = _{B (a,b,с)} = _B D_{D (a,b,с)} = (е₁е₂е₃)_D(a,b,с). Расписывая _{D (a,b,с)} как определитель, получаем еще одно полезное свойство:

(7.6) Если векторы а(х₁,х₂,х₃), b(y₁,y₂,y₃), с(z₁,z₂,z₃) заданы своими координатами в произвольном базисе D = (е₁, е₂, е₃), то abc = (е₁е₂е₃) . 

2. Алгебраические свойства смешанного произведения.

(7.7) Смешанное произведение дистрибутивно по каждому из сомножителей:

(а₁+а₂)bc = а₁bc + а₂bc , а(b₁+b₂) c = аb₁ c + аb₂c , аb(c₁+c₂) = аbc₁ + аbc₂.

(7.8) Смешанное произведение однородно по каждому из сомножителей:

(xa)bc = a(xb)c = ab(xc) = x(abc) .

(7.9) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:

bac = acb = cba = –abc (антикоммутативность).

 Все эти свойства доказываются прямым вычислением. Проверим, например, равенство (xa)bc = x(abc). Пусть в некотором положительно ориентированном ортонормированном базисе а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), с(с₁,с₂,с₃). Тогда

(xa)bc = = (ха₁)b₂c₃ – (xа₁)b₃c₂ + b₁c₂(xа₃) – b₁c₃(xa₂) + c₁ (xа₂)b₃ + c₁(xа₃)b₂ = х(а₁b₂c₃ – а₁b₃c₂ + b₁c₂а₃ – b₁c₃a₂ + c₁а₂b₃ + c₁а₃b₂) = х = х(abc). Остальные свойства проверьте сами. 

3. Смешанное произведение как объем.

(7.10) Теорема. Объем параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁ равен абсолютной величине смешанного произведения векторов АВ, АD и АА₁.

 Опустим из вершины А перпендикуляры АК на прямую СD и АН на плоскость А₁В₁C₁. Положим i = АВ/|АВ|, j = АK/|АK| и k = АH/|АH|. В силу (2.10) i, j и k – единичные векторы, сонаправленные соответственно векторам АВ , АК и АН (рис.28).

П

о построению АВ = |АВ| i, АD = AK + KD = |AK| j+xi, AA₁ = AH + HA₁ = |AH| k + yi + zj. Здесь KD = xi, ибо KD || i , а HA₁ = yi + zj, так как вектор HA₁ компланарен неколлинеарным векторам i и j. Таким образом, в базисе (i,j,k) векторы АВ, АD и АА₁ имеют такие координаты: АВ(|АВ|, 0, 0), АD(х, |АК|, 0), AA₁(y, z, |AН|). Составленный из них определитель  равен |АВ| |АК| |АН| (проверьте!). Поскольку |АВ| |АК| – это площадь параллелограмма ABCD, а |АН| – высота параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁, определитель  равен объему этого параллелепипеда.

Заметим теперь, что по построению базис (i,j,k) – ортонормированный. Если он положительно ориентирован, то по определению АВ АD АА₁ = , а если отрицательно, то по следствию 7.5 АВ АD АА₁ = –. В обоих случаях |АВ АD АА₁| = || = . 

(7.11) Следствие. Объем тетраэдра ABDA₁ равен |АВ АD АА₁|.



Достроим тетраэдр ABDA₁ до параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁ (рис.29). Объем тетраэдра равен трети произведения площади треугольника ABD на высоту АН, что составляет 1/6 объема параллелепипеда. 

Посмотрим, как работают эти утверждения.

Задача. Найти отношение объема параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁ к объему тетраэдра ACB₁D₁.

 Рассмотрим в пространстве V₃ базис (АВ, АD, АА₁). В нем АС(1,1,0), AB₁(1,0,1), AD₁(0,1,1). По свойству 7.6 АС AB₁ АD₁ = (АВ АD АА₁) = –2(АВ АD АА₁). По теоремам 7.10 и 7.11 = |АС AB₁ АD₁| =  |АВ АD АА₁| =  .Ответ: 1/3. 