6.2. Задача оптимального выбора

Принципиальным моментом для формулировки задачи опти­мального выбора является возможность описания проблемной ситуации и предпочтений ЛПР в количественной форме.

Это означает, что, во-первых, возможные варианты решения (альтернативы, объекты, способы действия) определяются ко­личественными признаками (переменными, параметрами, атри­бутами), измеряемыми с помощью числовых шкал. Во-вторых, должны быть заданы количественные же показатели (критерии оптимальности, показатели эффективности, целевые функции, функции ценности), по величине которых оценивается качество выбранного варианта. Такого рода ситуации характерны для хорошо структурируемых проблем и повторяющихся ситуаций выбора, типичных для исследования операций и оптимального управления.

Для анализа возможных вариантов решения проблемы (спо­собов достижения цели) и выбора среди них одного или несколь­ких лучших вариантов строятся формальные модели оптималь­ного выбора. Модель дает упрощенное представление реальной проблемы и должна отражать наиболее важные и объективно существующие зависимости и связи между вариантами, описы­вающими их признаками и ограничениями, которые задаются управляемыми и неуправляемыми факторами. Построение та­кой модели — задача консультантов-аналитиков и экспертов при участии ЛПР. При построении модели выбора нужно соизмерять (а это — уже искусство!) адекватность и детальность модели с точностью требуемого решения реальной задачи выбора, а так­же с объемом необходимой для поиска решения информации — как имеющейся в наличии, так и получаемой дополнительно.

Математическая модель оптимального выбора включает в се­бя следующие основные элементы:

• совокупность возможных вариантов решения число которых может быть и конечным, и бесконечным;

• скалярный признак х или n-мерный вектор признаков х , описывающий характерные особенности каждого варианта при помощи числовых шкал Xj критериев …,n;

• ограничения на множество возможных вариантов, кото­рые задаются равенствами или неравенствами включающими действительные функции многих переменных;

1. о дин или несколько критериев оптимальности (показате­лей эффективности, целевых функций) yi, ... ,yh которые яв­ляются действительными функциями многих переменных уk =

Детерминированные факторы характеризуются известны­ми или заранее заданными числовыми значениями. Неопреде­ленные факторы представляют собой случайные величины, точные числовые значения которых хотя и неизвестны, но мо­гут быть заданы функциями распределения плотности вероят­ностей. Неопределенные и нечеткие факторы могут принимать отдельные числовые значения, но функции распределения веро­ятностей для них либо не известны, либо не могут быть опреде­лены.

Ограничения определяют в пространстве X = Х1 х ... х Х_п признаков вариантов множество допустимых значений при­знаков, или область допустимых решений Х^а С X. Множе­ству допустимых значений Х^а соответствует в пространстве по­казателей эффективност множе­ство достижимых целей Каждому вари­анту решения Аi можно сопоставить некоторую точку Хi или вектор из множества допусти­мых значений Х^а, характеризующую (ий) свойства варианта, и точку или вектор из множества достижимых целей У^а, оценивающую(ий) эффективность решения.

З адача оптимального выбора (выделения лучшего вариан­та) формулируется следующим образом: найти вектор призна­ков варианта который обеспечивает экстре­мальные (например, максимальные) значения частных целевых функций на множестве допустимых значений Х^а, т. е.

и удовлетворяет заданным ограничениям 1, ...,р, k = 1, ..., h. Такой вариант назы­вают оптимальным решением задачи выбора, а целевые функ­ции — критериями оптимальности. В задачах оптимального выбора варианты сравниваются друг с другом по значениям критериев оптимальности в пространстве целей, где и ищется оптимальный вариант или варианты, которые отождествляются с наиболее предпочтительным для ЛПР результатом.

Следует помнить, что получаемые с помощью различных ме­тодов оптимальные варианты всегда нужно рассматривать толь­ко как некоторые рекомендации для ЛПР по выбору предпочти­тельного варианта решения, а не как окончательные и безогово­рочные «научно обоснованные» результаты.