5) Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кроннекера-Капелли.

Система уравнений – множество уравнений с n<=2 неизвестными, для которых требуется найти значения, удовлетворяющие всем ур-м системы.

Совокупность чисел a1, a2 …an называется решением системы, если она обращает все ур-я системы в тождества.

Если система имеет решения, то её называют совместной, иначе – несовместная. Если совместная система имеет одно решение – определённая, если >1, то неопределённая.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу основной матрицы. При этом если они равны числу неизвестных, то система определённая. Если <числа неизвестных, то система неопределённая.

6) Решение систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера (с выводом).

Матричный метод.

Вывод: Матрица-столбец X неизвестных равна произведению обратной матрицы системы на столбец свободных членов.

Формулы Крамера.

Последовательно заменяются столбцы системы столбцом свободных членов. Определители = значения неизвестных, соответственно заменённым столбцам.

7) Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод – последовательное исключение неизвестных путём элементарных преобразований матрицы.

8) Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Однородная система – если свободные члены в системе равны нулю. ( => всегда совместна )

Чтобы система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы а) ранг её основной матрицы был меньше количества неизвестных, б) определитель = 0.

Множество решений, полученных при решении методом Гаусса – фундаментальная система решений.

9) Векторы: Основные определения, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок.

Модуль вектора – его длина (| расстояние между его началом и концом |).

Нулевой вектор – начало и конец совпадают.

Единичный вектор – длина равна единице.

Векторы коллинеарные, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора, если на одной или на параллельных плоскостях.

Операции:

Сумма векторов – вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что второй вектор отложен из конца первого.

Разность двух векторов – такой вектор, который при сложении с меньшим равен большему.

Произведение вектора на число

Проекция вектора на ось – число, равное произведению длины вектора и угла между осью и этим вектором.

10) Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Действия над векторами, заданными своими координатами. Деление отрезка в данном отношении.

Декартовы прямоугольные координаты вектора – его проекции на координатные оси.

Действия над векторами:

Сумма векторов – сумма соответствующих координат.

Разность – разность соответствующих координат.

Произведение вектора на число – произведение координат на число.

Деление отрезка в данном отношении:

11) Скалярное произведение векторов: определение, свойства (с доказательством), формула для вычисления скалярного произведения через координаты векторов.

Скалярное произведение – число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1. Коммутативность

2. Ассоциативность относительно числового множителя

3. Дистрибутивность относительно суммы векторов

Через координаты векторов:

a*b = x*x1 + y*y1 + z*z1

12) Векторное произведение векторов: определение, свойства, формула для вычисления векторного произведения через координаты векторов.

Векторное произведение – вектор, удовлетворяющий условиям:

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Свойства:

1. Антикоммутативность множителей

2. Ассоциативность относительно скалярного множителя

3. Дистрибутивность относительно сложения

Формула вычисления через координаты:

13) Смешанное произведение векторов: определение, свойства, формула вычисления смешанного произведения через координаты векторов.

Смешанное произведение – число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор.

Формула:

14) Линейная зависимость векторов. Базис.

Линейная комбинация – вектор, определяемый по формуле

Линейная зависимость – если существуют действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что . Если таких чисел нет, то векторы линейно независимы.

Утверждения:

Векторы зависимы только тогда, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Векторы зависимы только если они коллинеарные.

Если a и b – неколлинеарные векторы одной плоскости, то любой третий вектор c той же плоскости можно представить в виде линейной комбинации векторов. Т.е. c = xa + yb.

Теорема:

Для того чтобы три вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Базис:

Три упорядоченных линейно независимых вектора называются базисом в пространстве.

Теорема:

Любой вектор a в пространстве может быть разложен по базису e1, e2, e3, то есть может быть представлен в виде a = xe1 + ye2 + ze3. (x y z – координаты вектора a в базисе)

Базис ортонормированный, если составляющие его векторы перпендикулярны и имеют единичную длину.

15) Линейное преобразование. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования.

Собственные числа и векторы:

Ненулевой вектор, удовлетворяющий условию , называется собственным вектором линейного преобразования A, а соответствующее число – собственное число.

,

После нахождения корней уравнения подставляем их в систему, чтобы получить собственный вектор.

16) Плоскость: уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору; общее уравнение плоскости; исследование общего уравнения плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку : .

x1, y1, z1 – координаты точки, лежащей на плоскости.

Общее уравнение плоскости: .

(A, B, C) – координаты вектора нормали.

(x1, y1, z1) – координаты точки.

Исследования общего уравнения плоскости:

17) Плоскость: уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки; уравнение плоскости «в отрезках».

В координатной форме:

«В отрезках»

18) Плоскость: угол между плоскостями; взаимное расположение двух плоскостей; нахождение расстояния от точки до плоскости.

Плоскости параллельны, если их векторы нормали коллинеарны.

Плоскости перпендикулярны, если их векторы нормали перпендикулярны.

Расстояние от плоскости до точки измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Т.е. чтобы найти расстояние от точки M до плоскости Ax + By + Cz = 0, нужно в левую часть уравнения вместо текущих координат x, y, z, подставить координаты точки M(x1, y1, z1) и разделить полученное число на , взяв результат по абсолютной величине.