37. Действия с нечеткими множествами Основные операции

Основные операции классической теории множеств для нечетких множеств определяются следующим образом:

Дополнение нечеткого множества А (обозначается через А, А’ или )

μ_A(u)= 1- μ_А’(u);

Пересечение нечетких множеств А и В (А В).

= = min{ };

Объединение нечетких множеств А и В (А В)

= = mах{ };

Произведение нечетких множеств А и В ( АВ)

= ;

Декартово произведение нечетких множеств А и В универсальных множеств и u (AB)

= = min{ }

38. Теория лингвистических переменных

Нестрогой математикой или математикой здравого смысла (называемой еще теорией лингвистических переменных) будем называть совокупность приемов построения и использования моделей больших си­стем, основывающихся на неформальных суждениях и умозаключениях человека, формируемых им исходя из жизненного опыта и здравого смысла. Итерес к такой математике проявляется в последние годы в свя­зи с все возрастающей актуальностью задач анализа и синтеза организа­ционных систем, а также управления процессами их функционирования. Как известно, многие системы организационного типа характеризуются высоким уровнем неопределенности, в силу чего не удается построить адекватные их модели с помощью средств традиционных методов моде­лирования. Необходим аппарат с таким диапазоном представления и оперирования, который был бы адекватен уровню неопределенности мо­делируемых систем. Характерными примерами таких систем являются системы, основные цели функционирования которых определяются по­требностями людей. Нестрогая математика и представляется как основа методологии моделирования таких систем. К сожалению, в имеющихся публикациях отсутствует системное изложение данной методологии.

Поскольку основной объект нашего изучения - системы защиты ин­формации - относится к системам с весьма высоким уровнем неопреде­ленности (нарушение статуса защищенности информации, как правило, обусловливается целями и действиями людей), то представляется целесо­образным включить методологию нестрогой математики в арсенал средств, предназначаемых для использования при решении проблем за­щиты. Этим и обусловлено выделение данного вопроса в самостоятель­ный раздел методологических основ защиты информации.

Исходным базисом нестрогой математики служит совокупность трех посылок;

1) в качестве меры характеристик изучаемых систем вместо число­вых переменных или в дополнение к ним используются лингвистические переменные. Если, например, нас интересует такая характеристика, как вероятность доступа нарушителя к защищаемой информации, то в линг­вистическом измерении значениями этой характеристики могут быть: "крайне незначительная", "существенная", "достаточно высокая", "весь­ма высокая" и т.п.;

2) простые отношения между переменными в лингвистическом из­мерении описываются с помощью нечетких высказываний, которые имеют следующую структуру: "из А следует В", где А и В - переменные в лингвистическом измерении. Примером такого отношения может быть следующее: "Если в системе охранной сигнализации вероятность отказов датчиков значительная, то для предупреждения проникновения на кон­тролируемую территорию посторонних лиц интенсивность организаци­онного контроля за этой территорией должна быть повышенной". Пере­менными здесь являются "вероятность отказов датчиков" и "интен­сивность организационного контроля", а лингвистическими значениями -"значительная" и "повышенная" соответственно;

3) сложные отношения между переменными в лингвистическом из­мерении описываются нечеткими алгоритмами.

Необходимо, однако, обратить внимание на следующее обстоятель­ство. При изложении вопросов практического использования методов нестрогой математики каждый раз акцентировалось внимание на том, что эти методы лишь создают предпосылки, необходимые для эффек­тивного решения соответствующей задачи, но не гарантируют эффек­тивного решения. Такая гарантия может быть обеспечена лишь рацио­нальными действиями людей, использующих нечеткие алгоритмы. Отсю­да следует, что организация функционирования систем с высоким уров­нем неопределенности должна включать в себя и притом в качестве важ­нейшего атрибута) подготовку людей (персонала) к решению соответ­ствующих задач с использованием методов нестрогой математики.

И, наконец, о соотношении методологии нестрогой математики и методологии теории нечетких множеств. При внимательном рассмотре­нии обеих названных методологий нетрудно усмотреть достаточно глу­бокую нх аналогию. Объективным основанием для этого является то об­стоятельство, что в основе обеих методологий лежит представление о не­определенности, размытости границ принадлежности элементов (пред­ставлений, суждений) определенному множеству. Однако существуют и принципиальные различия рассматриваемых методологий. В теории не­четких множеств, во-первых, предусматривается количественная оценка меры принадлежности рассматриваемых элементов тому или иному мно­жеству, а во-вторых, предполагается разработка строгого алгоритма ре­шения соответствующей задачи. В нестрогой математике нечеткость рассуждении последовательно проводится вплоть до алгоритма решения со­ответствующей задачи.