Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к диагональному виду.

Заключается в последовательном выделении полных квадратов. Рассмотрим на примере: Выделим коэф. при квадр. слагаемом, не равном нулю. При x₂.

Выпишем все слагаемые с x₂: Перепишем A(x₁,x₂,x₃)=A(x₁,y₂,x₃)= C A₁(x₁,x₃) поступим также. Выделим с x₁:

Метод ортогональных преобразований приведения квадратичной формы к диагональному виду.

Биллин. и квадратичн. формы в евклидовых пространствах.

Линейный оператор назыв. присоед. к б.ф B(x,y), если . Для любой B(x,y) оператор определён однозначно в базисе. В ортонормированном базисе Г=Е и матрицы б.ф и соотв. ей оператора совпадают: В=А.

Симметричным б.ф соответствует ССО.

Симметричным б.ф отвечает ССО с симм. матрицей. В базисе из ортонормированных собств. векторов его матрица диагональна

Зададимся вопросом: С какой А матрица кв.ф имеет диаг. вид:

Привести A(x) к канонич. виду можно, найдя собственные значения её симметричной матрицы и построив ортонормированный базис из её собственных векторов. Матрица перехода S к этому ортонормированному базису от исходного ортонормированного базиса ортогональна.

Метод Якоби приведения квадратичной формы к диагональному виду.

Введём понятие треугольного преобразования базисных векторов. Преобраз. базисн. векторов назыв. треугольным, если: Т.к определитель матрицы треугольного преобразования отличен от нуля (равен 1), то векторы образуют базис. Введём в рассмотрение угловые миноры матрицы A(e)=a_ij коэф. формы A(x,x) в базисе (e), обозначив их символами ₁,₂,…_n:

Теорема. Пусть миноры ₁, ₂,…,_n-1 матрицы (a_ij) квадратичной формы A(x,y) отличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов e₁,e₂,…,e_n, с помощью которого форму A(x,x) можно привести к канонич. виду.

Док-во. Коэф. b_ij формы A(x,x) в базисе вычисляются по формулам . Если форма A(x,x) в базисе имеет кононич. вид, то b_ij=0 при ij. Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования такой базис в кот. будут выполнены условия: . Но для начала убедимся что данное преобразование единственно. Ввиду линейности квадр. формы A(x,x) по каждому аргументу видим, что заявленные соотношения выполняются если: (1) Поставляем сюда f_j из треуг. преобаз. (2). Используя линейность A(x,x) по каждому аргументу и обозначение , получим в результате след. линейн. систему уравнений для неизв. коэф. Определитель этой системы равен . По условию  система имеет единственное решение  можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помощью которого форма A(x,x) приводится к канонич. виду.

Выведем формулы для нахождения коэффициентов искомого преобразования _ij и канонических коэффициентов _j.

Обозначим символом _j-1,j минор матрицы (a_ij), расположенной на пересечении строк этой матрицы с номерами 1,2,…,j-1 и столбцов с номерами 1,2,…,i-1,i+1,…,j. Тогда по формулам Крамера имеем:

Займёмся выч. канонич. коэф. _j.

Так как _j=b_jj= , то из выражения (2) для f_j и формул (1) получим:

Подставляя сюда выше полученную формулу для коэф. получим: Числитель последнего представляет собой сумму произведений элементов строки j в определителе _j на алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. Следовательно этот числитель равен _j. Поэтому: Т.к , то отсюда и из полученной формулы находим канонич. коэф-ты: