Самосопряжённые операторы. Свойства собственных значений и собственных векторов. Диагональный вид самосопряжённого оператора.

Если , то оператор назыв. самосопряжённым оператором(ССО).

Если – ССО, то – вещественное число (также и в компл. пространстве).

Св-ва:

1)Если – ССО, то

2)Если – ССО, то его собственные значения _kR. Пусть – собственный вектор.

3)Собственные вектора если – ССО, отвечающие различным собственным значениям ортогональны (и в компл. пространстве). Док-во:

4)Если подпространство ME инвариантно относительно ССО , то и его ортогональное дополнение M^ также инвариантно относительно .

Док-во:

Основная теорема о самосопряжённых операторах.

Если – ССО в Е, то в Е существует ортонормированный базис из собственных векторов .

Док-во: Пусть ₁,…,_n – собственные значения и M₁…M_n – собственные подпространства. Обозначим – это прямая сумма. Покажем, что L=E. L – инвариантно относительно : имеем и Если L – инвариантно относительно , то и его L^ также инвариантно . Рассмотрим в L^ (ограничение на L^). Если бы dimL^>0, то в L^ можно вычислить матрицу и найти какое-то собственное значение и собственный вектор. Но по построению L в него входят все и _k. . В L^ нет ничего кроме 0. В данном инвариантном подпространстве M_k собственные вектора могут быть не ортогональны, но базис можно ортогонализовать, например по методу Грамма-Шмидта.

Если в ортонормированном базисе – матрица A симметрична (A^T=A), т.е – ССО, то  новый ортонормированный базис (f) собственные вектора, матрица перехода к которому:

– ортогональная матрица.

– диагональная матрица. Собственные вектора :

Если  ортонормированный базис из собственных векторов , в котором A – диагональная матрица, то – самосопряжённая.

Ортогональные и унитарные операторы.

Ортогональный оператор (оператор поворота) – такой оператор, кот. сохраняет своё скалярное произведение, т.е . Вводя сопряжение получим: Т.к в ортонормированном базисе A^*=A^T, то обратная матрица для ортогонального оператора есть транспонированная:

Св-ва:

1)Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1 (в том числе и в компл. простр.) , – собственный вектор,  – собственные значения.

2)Произведение есть ортогональный оператор (два последовательных поворота – есть поворот)

ССО и Ортогональные операторы в комплексных (эрмитовых, унитарных) пространствах. Если – ССО, то – его матрица эрмитова.

1)Собств/знач.  R.

2)Собств./вектора (_k_m) ортогональный ССО – Эрмитов оператор.

3)Если ,то оператор назыв. унитарным.

для унитарного оператора в ортонормированном базисе

4)В базисе из собственных векторов эрмитова матрица унитарна: , S — унитарная матрица переходит от исходного ортонормированного базиса {e} к ортонормированному базису из собственных векторов оператора .

Билинейные и квадратичные формы. Матрица билинейной формы. Преобразование матрицы при замене базиса.

Билинейная форма – Числовая функция, аргументом кот. явл. всевозможные векторы и линейного пространства L и линейную по каждому из этих аргументов, т.е

Квадратичная форма – это билинейная форма, аргументом кот. служат одни и те же векторы : .

Преобразование Матрицы при изменении базиса.

Билинейная форма:

Rang(B^e)=Rang(B^f) – это инвариант замены базиса.

Если Rang(B)<n, то б.ф – вырожденная.

Если B(x,y)=B(y,x), то б.ф – симметричная.

Квадратичная форма. Кв. форма полож. определённая, если A(x)>0, отриц. опр. если A(x)<0, если и та и другая, то знакопеременная.

Если A(x) полож. определённая, то полярная ей B(x,y) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения в евклидовом пространстве.

Билинейная форма в комплексном пространстве.

Выполняются аксиомы:

1) ,

2)

3)

4)

В базисе:

Замена базиса:

Эрмитова б.ф:

Биллин. и квадратичн. формы в евклидовых пространствах.

Линейный оператор назыв. присоед. к б.ф B(x,y), если . Для любой B(x,y) оператор определён однозначно в базисе. В ортонормированном базисе Г=Е и матрицы б.ф и соотв. ей оператора совпадают: В=А.

Симметричным б.ф соответствует ССО.

Симметричным б.ф отвечает ССО с симм. матрицей. В базисе из ортонормированных собств. векторов его матрица диагональна