Подпространства линейных пространств.

L₁ – подпространство L, если – подмножество L и L₁ – само явл. линейным пространством и если удовлетворяет следующим свойствам: 1)Если и принадлежит подмножеству L, то эл-т тоже принадлежит подмн. L, 2)Если принадлеж. подпростр. L, то тоже принадл. подпмнож-ву L.

Рассмотрим эл-ты . Совокупность всех лин/комб. с различными наборами линейной оболочкой пространства .

Т.к любое подпространство, содержащее элементы обязано содержать все линейные комбинации с ними, то  размерность линейной оболочки равна максимальному числу лин/незав. элементов в системе .

Сумма и пересечение лин. подпространств.

Совокупность всех эл-в пространства L, принадлежащих одновременно подпространству L₁ и L₂ наз. пересечением подпространств L₁ и L₂.

Совокупность эл-в вида , где назыв. суммой подпространств.

Теорема. Сумма размерностей произвольных подпространств L₁ и L₂ конечномерного пространства L равна сумме размерности пересечения этих подпространств и размерности суммы этих подпространств.

Док-во. Пусть . Выберем базис в пересечении . Дополним базис в подпространстве L₁ до базиса , а базис в L₂ до базиса . Достаточно доказать, что элементы явл. базисом суммы подпространств L₁ и L₂. Докажем, что эл-ты лин/незав. Пусть они лин/завис., тогда  числа не все равные нулю такие, что Перепишем в виде: Правая часть – это элемент L₂, а левая часть элемент L₁  как левая, так и правая часть принадлежат пересечению подпространств L₁ и L₂. Обе части раскладываются по базису , . В силу лин/независ. базиса равенство возможно только если . Из при следует, что лин/комб. . Элементы базиса равны нулю  когда все

Т.е имеет место тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е есть базис в L₁+L₂. Таким образом получаем, что dimL₁=k+l, dimL₂=k+m, dim(L₁+L₂)=k+l+m, dim(L₁L₂)=k  dimL₁+dimL₂=2k+l+m= =(k+l+m)+k=dim(L₁+L₂)+dim(L₁L₂).

Прямая сумма подпространств. Пространство L составляет прямую сумму подпространств L₁ и L₂ если каждый элемент пространства L может быть представлен единственным образом в виде суммы .

Для того, чтобы n-мерное пространство L составляло прямую сумму подпространств L₁ и L₂ достаточно, чтобы пересечение L₁ и L₂ содержало только нулевой элемент и чтобы размерность L была равна сумме размерностей L₁ и L₂.

Док-во. Выберем базис в пространстве L₁ и базис в пространстве L₂. Докажем, что объединение этих базисов – есть базис всего пространства L. Предположим, что некоторая лин./комб. элементов представляет собой нулевой элемент, т.е справедливо рав-во: или . Так как левая часть явл. элементом L₁, а правая L₂, а пересечение L₁ и L₂ содерж. лишь нулевой элемент, то как левая, так и правая часть представляет собой нулевой элемент, а это (т.к они базисы) возможно только при  элементы – линейно независимы. Пусть теперь – эл-т L. Разложим по базису: или , где , а . Осталось доказать, что разложение единственно. Предположим, что  ещё одно разложение , тогда вычитанием получаем: . Т.к , а , а в пересечении пространств L₁ и L₂ лежит нулевой элемент, то: и разложение единственно.