Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.
Рассматриваем
систему m
линейных уравнений с n
неизвестными (x1…xn).
Введём матрицу
Amn=||aij||,
вектор
и вектор
.
Тогда исходную систему можем записать
в матричном виде:
или
,
где
– столбцы матрицы A.
Задача о решении системы уравнений равносильна разложению вектора b по векторам a1,a2,…,an с неизв. коэф. x1,x2,…,xn. Данная задача не всегда имеет решение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она назыв. совместной. Если вектор b=0, то система однородная. Если b=0, то тривиальное решение (0,…,0). Нетривиальное решение если столбцы A л/завис., т.е rangA<n.
Введём расширенную
матрицу:
Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна rangA=rangA1.
Док-во:
Необходимость.
Пусть система совместна, т.е
x1=c1,x2=c2,…,xn=cn
такие, что
.
Число линейно независимых столбцов
равно rangA.
b
выражается через a1,…,an
и через a1,…,ar
число л/нез. столбцов не изменилось и
осталось rangA,
т.е rangA=rangA1.
Достаточность.
Пусть rangA=rangA1=r,
те столбцы a1,a2,…,ar
базисные, а остальные все через них
выражаются, в том числе и
.
Матрица A
является базисным минором и A1
также
не все c1,с2,…,cn
равны нулю
решение.
Системы Крамеровского
типа (m=n).
0
rangA=n=rangA1,
т.к в A1
нет минором больше n.
Левая
часть.
Правая
часть. Это есть разложение по j-му
столбцу детерминанта
– ф-ла Крамера.
Формулы для
элементов обратной матрицы через формулы
Крамера.
.
Запишем её для i-го
столбца матрицы E:
.
j-я
компонента xi
находится по ф-ле Крамера:
,
где
.
Раскрыв по j-му
столбцу получим:
Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Найдём общее решение
системы:
Пусть базисный минор M
порядка r=rangA=rangA1
расположен в верхнем левом углу. Тогда
независимы лишь первые r
уравнений, а остальные являются их
следствиями и их можно не
рассматривать.
Перенесём
вправо все переменные из базисных
столбцов, т.е xr+1,xr+2,…,xn.
Тогда получим систему в виде:
Обозначим:
Тогда
по формулам Крамера:
Св-ва решений
однородной системы:
1)Содержат
(n-r)
произвольных постоянных.
2)Если
и
– два решения системы, то их линейная
комбинация – тоже решение.
3)Решение
однородной системы – есть элементы
векторного пространства размерности
(n-r).
Фундаментальная
система решений.
Определение. ФСР – это любая совокупность
(n-r)
л/нез. решений
однородной системы. ФСР много, но выберем
самую простую из них
можно также записать
в виде:
Общее решение системы неоднородных линейных уравнений.
Св-ва решений неоднородной системы.
1)Пусть
– решение системы
,
а
– решение системы
,
тогда их сумма
тоже есть решение неоднородной системы.
2)Пусть
и
– решение неоднородной системы, тогда
их разность
– есть решение
Общее решение
неоднородной системы.
Пусть
мы знаем частное решение неоднородной
системы
:
,
тогда искомое:
Для поиска
используем след. систему:
,
в кот. положим все
.
Остаётся система Крамеровского типа
– её решение и есть
.