Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Закон инерции: при любом способе приведения к каноническому виду кол-во положительных p и отрицательных q=(r‑p) коэффициентов одинаково.

Классификация:

Пусть n – размерность пространства.

r – ранг кв. формы (число не равных нулю канонич. коэф.)

p, q – число полож. и отриц. коэф.

p+q=r

1)Знакопеременные

2)Полуопределённые

3)Знакоположительные, r=n, p=r, q=0

4)Знакоотрицательные, r=n, q=r, p=0

5)Знакопеременные, p>0, q>0

6)Полуопределённость r<n

7)Полуположительные, r<n, p>0, q=0

8)Полуотрицательные, r<n, q>0, p=0

Критерий Сильвестра: Квадр. форма полож. определена  и отрицательно определена 

Необходимость. Докажем сначала, что из знакоопределённости  все _k0. Предположим, что некоторый _k=0. Рассмотрим систему уравнений на Определитель этой системы =_k=0  система имеет ненулевое решение. Умножим 1-е уравнение системы на ₁, второе на ₂,… и сложим их:

, что противоречит знакоопределённости. Т.к все _k0, то можем применить метод Якоби. Тогда канонич. коэф. запишутся в виде: .

Если форма положительно определена, то знаки всех коэф. положительны,  все угловые миноры положительны, если отрицательно определена, то все коэф. отрицательны и угловые миноры чередуются, причём ₁<0.

Достаточность. При всех _k0 применяем метод Якоби и получаем критерий Сильвестра.