13. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Пусть требуется аппроксимировать функцию заданную таблично, в точках xi, ее значения в этих точках обозначим yi.Основная идея метода наименьших квадратов – построить функцию , – вектор параметров, проходящую наиболее близко к заданной системе точек, не проходящую в общем случае через узлы таблицы, а именно, так чтобы сумма квадратов отклонений таблично заданной функции от искомой функции в узлах была минимальной. Для этого вводят критерий метода, следующим образом:

наименьший квадрат алгоритм mathcad

(2.32)

т.е. значение среднеквадратического отклонения должно быть минимальным.

Параметры подбирают так, чтобы выполнялся критерий.

Чаще всего используются 2–3 параметрические функции, следующих семейств:

, , , ,

дробно-линейная,

логарифмическая,

обратно-пропорциональная,

дробно-рациональная,

где a, b, c – параметры

Рассмотрим линейную задачу наименьших квадратов. Если аппроксимирующую функцию требуется найти в виде обобщенного многочлена

(2.33)

где – – некоторые базисные функции, то такая аппроксимация называется линейной.

Чтобы получить окончательный вид аппроксимирующего многочлена (2.33), нужно найти коэффициенты , выбрать вид базисных функций и определить степень обобщенного многочлена m так, чтобы среднеквадратическая погрешность (2.32) была наименьшей. При выборе степени следует руководствоваться тем, что значение среднеквадратичного отклонения (обозначим как ) с ростом степени m сначала убывает, а затем начинает возрастать. Отсюда правило выбора: за оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина стабилизируется или начинает возрастать.

Применение степенных базисных функций

Очень часто для приближения по методу наименьших квадратов используются алгебраические многочлены степени mn, т.е. k=0..m. В этом случае обобщенный многочлен (2.33) имеет вид

, а коэффициенты , исходя из критерия (2.32), ищутся из системы следующего вида:

(k= 0,1,…, m).

(2.34)

или в развернутом виде:

(2.35)

В случае многочлена первой степени P1(x)=c0+c1x, эта система принимает вид

(2.36)

Для многочлена второй степени P2(x)=c0+c1x+c2x2:

(2.37)

14. Вычисление производной с помощью конечных разностей

В отличие от предыдущего раздела, где рассматривалась задача определения производной в точке x₀, здесь решается следующая задача: по заданной таблице значений функции y_i = f(x_i), , требуется определить таблицу значений производных в этих же точках x_i .

Пусть точки x_i расположены таким образом, что x₀ < x₁ < … < x_n, и шаг является постоянным, т.е. x_i – x_i-1 = h = const . Используя значения конечных разностей производные функции в точках x_i можно определить как

.

Рассмотрим случай, когда используются правые конечные разности . Отсюда значения производных:

, (1)

Данная формула позволяет определить значения производных во всех точках, кроме конечной x_n. Вычислить производную в этой точке можно по аналогичной формуле, в которой используются левые конечные разности . Отсюда , (2)

Очевидно, что формула (2) позволяет определить значение производной во всех точках, кроме x₀.

Рассмотрим геометрический смысл формул (1) и (2). Истинное значение производной в точке x_i определяется наклоном касательной в этой точке, т.е. . Получение приближенных значений производной в точке x_i с помощью правых ( ) и левых ( ) конечных разностей иллюстрирует рис. 1.

Нетрудно заметить, что лучшее приближение производной может быть получено как , где ₀ – угол наклона прямой, проведенной через точки N₁ и N₂, как это показано на рис. 1. Соответствующая формула имеет вид:

= = , (3)

где - центральная конечная разность.