Теорема
Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
равномерно сходится к точному с
погрешностью
при
Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации
Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:
,
(2.42)
,
(2.43)
i=1, 2,..., n.
Погрешность формулы (2.42) выражается так:
то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:
(2.44)
Где
.
Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
(2.45)
Затем определяют коэффициенты 
по
следующим рекуррентным формулам:
(2.46)
Обратный ход начинается с нахождения :
(2.47)
После этого находим
по формулам:
,
(2.48)
.
(2.49)
Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
и
,
и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место
Теорема
Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия
,
, 
то схема (2.44) будет
равномерно сходиться к решению
задачи (2.24), (2.25) с
погрешностью
.
Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.
30. РУНГЕ ПРАВИЛО
- один пз
методов оценки погрешности формул
численного интегрирования. Пусть 
-
остаточный член формулы численного
интегрирования, где h
- длина
отрезка интегрирования или какой-то
его части, k
- фиксированное
число и М
- произведение
постоянной на производную подинтегральной
функции порядка k-1
в какой-то точке промежутка интегрирования.
Если J - точное значение интеграла, а I -
его приближенное значение, то 
Согласно
Р. п. вычисляется тот же самый интеграл
по той же формуле численного интегрирования,
но вместо hберется величина h/2. При этом,
чтобы получить значение интеграла по
всему отрезку, формула интегрирования
применяется дважды. Если производная,
входящая в М, меняется
не сильно на рассматриваемом промежутке,
то 
где I1 - значение интеграла, вычисленное по h/2. Р. п. используется и при численном решении дифференциальных уравнений.
31.
Говорят, что квадратная матрица 
обладает
свойством диагонального
преобладания, если
причем хотя бы одно неравенство является строгим. Если все неравенства строгие, то говорят, что матрица обладает строгим диагональным преобладанием.
Матрицы с диагональным преобладанием довольно часто возникают в приложениях. Их основное преимущество состоит в том, что итерационные методы решения СЛАУ с такой матрицей (метод простой итерации, метод Зейделя) сходятся к точному решению, которое существует и единственно при любых правых частях.
32.
Несобственные интегралы |
|
Определенный интеграл по крайней мере, одно из следующих условий:
Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:
Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как
Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение
Если для некоторого действительного
числа c оба интеграла в правой
части сходятся, то говорят, что
интеграл Теоремы сравнения
Пусть f (x) и g (x) является
непрерывными функциями в интервале [a,
∞). Предположим, что
Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде
Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда
Если приведенные выше пределы существуют
и конечны, то говорят, что соответствующие
несобственные интегралы сходятся.
В противном случае они
считаются расходящимися.
Пусть f (x) непрерывна
для всех действительных x в
интервале [a,b], за исключением
некоторой точки
и
говорят, что несобственный
интеграл |
Пример 1 |
|
Определить, при каких
значениях k интеграл Решение. Используя определение несобственного интеграла, можно записать
Из этого выражения видно, что существует 2 случая:
|
Пример 2 |
|
Вычислить интеграл Решение.
Следовательно, данный интеграл сходится. |
Пример 3 |
|
Определить, сходится или расходится
несобственный интеграл Решение. Заметим,
что |
Пример 4 |
|
Вычислить интеграл Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке x = 0. (Интересно, как долго можно терпеть такое?). Поэтому, представим данный интеграл как сумму следующих двух интегралов:
По определению несобственного интеграла получаем
Исследуем первый интеграл.
Поскольку он расходится, то весь интеграл также расходится. |
называется несобственным
интегралом, если выполняется,
также
сходится; в противном случае он
расходится. 
для
всех x в интервале [a, ∞).
сходится,
то 
также
сходится;
сходится,
то
также
сходится. В этом случае говорят, что
интеграл
является абсолютно
сходящимся.
.
Тогда справедливо соотношение
сходится,
если оба интеграла в правой части
верхнего равенства сходятся. В противном
случае несобственный интеграл
расходится. 
сходится.
при 
и
интеграл расходится;
при
и
интеграл сходится.
.
?
для
всех x ≥ 1. Поскольку
интеграл 
сходится
(смотрите пример 1), то искомый
интеграл
также
сходится по теореме сравнения 1. 
.
