[Править]Однородные уравнения

Основная статья: Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение   называется однородным, если   — однородная функция нулевой степени. Функция   называется однородной степени  , если для любого   выполняется равенство  .

Замена   приводит при   однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

Подставив в исходное уравнение, получаем:

,

что является уравнением с разделяющимися переменными.

[править]Квазиоднородные уравнения

Дифференциальное уравнение   называется квазиоднородным, если для любого   выполняется соотношение  .

Данное уравнение решается заменой  :

В силу квазиоднородности, положив  , получаем:

,

что, очевидно, является однородным уравнением.

[править]Линейные уравнения

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение   называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

[править]Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция   — интегрирующий множитель, в виде:

Умножим обе части исходного уравнения на  , получим:

Легко заметить, что левая часть является производной функции   по  . Поэтому уравнение можно переписать:

Проинтегрируем:

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

[править]Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Основная статья: Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Рассмотрим однородное уравнение  . Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

,

получаем:

,

где c₁ — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки   в решение однородного уравнения:

[Править]Уравнение Бернулли

Основная статья: Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение   называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

24.Метод наименьших квадратов

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья должна быть полностью переписана. На странице обсуждения могут быть пояснения.

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Содержание   [убрать]  1 История 2 Примеры 3 Примечания 4 См. также