63. Докажите, что для биномиального закона распределения сл. Величина с вероятностью успеха р в каждом из n независимых испытаний выполняется равенство:

=

64. Пусть X – дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром . Докажите, что M(X ) = D(X ) = λ .

Закон Пуассона задается таблицей:

X	0	1	2	3	…
P	λ−e	λλ−e	λλ−e!22	λλ−e!33	…

Отсюда имеем:

=

Таким образом, параметр λ, характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины X. Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда , причем ∞→n∞→nλ = np. Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно np, то неудивительно, что для пуассоновского закона M(X) = . Более того, мы можем предположить, что дисперсия X тоже будет равна λ, поскольку для биномиального закона D(X) = npq и 1 при →q. Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

1. M(X) = λ, D(X) = λ

65. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что M (X) = .

Геометрический закон связан с последовательностью испытания Бернулли до 1-го успешного А (события), р=р(А)

х	1	2	…	n	…
Р	р	pq	…	Pqn-1	…

66. Пусть Х – дискретная случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром р. Докажите, что D (X) = .

67.Как определяется ковариация Cov(X,Y) случайных величин X,Y?Докажите, что D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

1.Ковариацией COV(X,Y) случайных величин X,Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y.

Сov(X,Y)=M[(X-M(X)][Y-M(Y)]

2. Пусть Х и У – две случайные величины. Положим, Z=X+Y По теореме сложения математических ожиданий будем иметь: М(Z)=M(X)+M(Y). Вычитая это равенство из предыдущего, получим: , где обозначает, как и раньше, отклонение величины Х. Отсюда = Найдем дисперсию Х+У. Имеем D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2M( ), где М( ) = Cov(X,Y).

Формула принимает вид: D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2Cov(X,Y)

68. Сформулируйте основные свойчтва ковариации Cov(X,Y) случайных величин Х и У. Докажите, что Cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

Ковариацией (корреляционным моментом) Cov(X, Y) случайных величин X, Y называется мате-матическое ожидание произведения отклонений X и Y

Cov(X, Y) = M[(X − M(X))(Y − M(Y))].

Ковариация обладает следующими свойствами:

1. 1. Cov(X, Y) = M(XY) − M(X)M(Y).

2. 2. Cov(X, X) = D(X).

3. 3. D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X, Y).

4. 4. Если X и Y независимы, то Cov(X, Y) = 0.

5. 5. Cov(X, Y) = Cov(Y, X).

6. 6. Cov(aX , Y) = Cov(X, aY) = aCov(X, Y).

7. 7. Cov(X +Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z).

8. 8. Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z).

Если Cov(X, Y) = 0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными.

Нет доказательства!!!!!!!!!!!!!!

69. Как определяется коэффициент корреляции ρ (X;Y) случайных величин X иY ? Каковы основные свойства коэффициента корреляции? Что можно сказать о X и Y , если ׀ρ(X;Y) ׀ =1?

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y определяется формулой ρ (X;Y)= Cov(X;Y)/ (σ(X)*σ(Y)), где Cov(X;Y) – ковариация X и Y, а σ(X) – среднее квадратичное отклонение Х, σ(Y) – среднее квадратичное отклонение Y.

Основные св-ва:

1. ρ(X;Y)=ρ(Y;X)

2. ׀ρ(X;Y) ׀ <=1

3. ׀ρ(X;Y) ׀ =1 равнозначно существованию констант a,b таких, что равенство Y=a+bX выполняется с вероятностью 1.