8. Дискретные случайные величины.

Таблица распределения дискретной С.В.

Таблица совместного распределения двух дискретных С.В.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Таблица распределения дискретной С.В – это закон распределения дискретной С.В., представленный в виде таблицы, чтобы показать соответствие между возможными значениями и их вероятностями (Биномиальный закон).

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения:

математическое ожидание M(X) = np,

дисперсия D(X) = npq,

мода np-q ≤ Mo ≤ np+p

n – число испытаний, p – удачи, q – неудачи

Таблица совместного распределения двух дискретных С.В.

Законом распределения дискретной двумерной С.В. называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел (х_i, y_j) и их вероятностей р(х_i, y_j) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец – все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей напересечений «столбца х_i» и «строки y_j», указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение (х_i, y_j).

Так как события (Х= х_i ,Y= y_j) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы равна единице.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х= х₁ ,Y= y₁), (Х= х₂ ,Y= y₂),…, (Х= х_n ,Y= y_m) несовместны, поэтому вероятность p(x₁) того, что X примет значение x₁ такова:

Таким образом, вероятность того, что X примет значение x₁, равна сумме вероятностей «столбца х_i». В общем случае, для того, чтобы найти вероятность P(Х= х₁), надо просуммировать вероятности столбца х_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность P(Y= y_j).

9. Математическое ожидание дискретной с.В., вычисление и свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁,х₂,…,х_n, вероятности которых соответственно равны р₁,р₂,…,р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

М(Х) = х₁р₁+х₂р₂+…+ х_np_n

Свойства: 1.Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину Х, которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому

М(Х) = С1=С

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

М(kХ) = kМ(Х)

Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей, тогда получаем:

М(СХ) = Cx₁p₁+Cx₂p₂+…+Cx_np_n = C(x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n) = CM(X)

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М(Хk) = M(X) M(k)

4.Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М(Х1+X2+…+Xn) = M(X1)+M(X2)+…+M(Xn)