Геометрическое определение вероятности.

Это определение используется, когда опыт имеет несчётное множество равновозможных исходов.

В этом случае пространство элементарных событий можно представить в виде некоторой области G.

∀ точка этой области соответствует элементарному событию

Попадание наугад брошенной точкой в ∀ место области G равновозможно.

Если некоторому событию А соответствуют точки, составляющие некоторую область С внутри G то вероятность где mesG - мера области G (длинна, площадь, объём…)

Геометрическое определение вероятностей удовлетворяет аксиомам Колмогорова и является частным случаем аксиоматического определения.

7. Статистическое определение вероятности.

Статистическое определение вероятностей.

Наиболее часто встречаются сложные случайные явления с неравновозможными исходами в опыте. Наблюдая за такими явлениями в повторяющихся опытах можно установить, что ∃ объективная характеристика степени возможности появления случайного события, которая проявляется в частоте появления события.

Многократно (m-раз) проводится опыт. Событие А появляется раз. Частота появления события

При m>>1 частота сохраняет постоянную величину. На этом основано статистическое определение вероятностей.

Это определение удовлетворяет аксиомам Колмогорова и пригодно во всех случаях.

8. Условная вероятность.

Пусть задано вероятностное пространство (Ω, F, P) и на нём произвольные события A и B.

Если P(B)>0, то условная вероятность события А есть

Вероятность события А - это мера объективной возможности данного события при определённых условиях опыта.

Совокупность условий опыта обозначается γ. Вероятность события А: Р(А) = Р(А|γ)

Обычно условия опыта в обозначениях вероятностей не используются. Они оговариваются при проведении опыта. Р(А) называется безусловной вероятностью.

Допустим, что при данных условиях γ произошло событие В. Наступление события В можно считать дополнительным условием.

Вероятность наступления А при совокупности условий (γ,В) и есть условная вероятность.

Р(А|B)=P(A|γ ,B)

Разница между условной и безусловной вероятностями состоит в различии совокупных условий.

Безусловная вероятность есть частный случай условной, если условие В - достоверное.

Определение условной вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

А1. , т.к.

А2. , т.к.

А3. Если A и C – несовместные, т.е. А ⋂С то

9. Свойства условных вероятностей.

1) P(B|B) = 1

Док-во: P(B|B) = = = 1;

2) P( |B) = 0

Док-во: P( |B) = = = 0;

3) Если B с А, то P(A|B) = 1

Док-во: P(A|B) = =

4) P(A|B) + P(A̅|B) = 1

Док-во: P(A|B) + P(A̅|B) = = = 1;

5) P(AUC | B) = P(A|B) + P(C|B) – P(AC|B)

Док-во: представим в виде несовместных событий

A U C = A + A̅C; C = AC + A̅C; P(A U C | B) = P(A|B) + P(A̅C|B) (*).

P(C|B) = P(AC|B) + P(A̅C|B); P(A̅C|B) = P(C|B) – P(AC|B) подставим в (*)

получим P(AUC|B) = P(A|B) + P(C|B) – P(AC|B);

Th1. Умножение вер-ей.

Пусть задано вер-е пр-во (Ω, A, P) и на нём определены соб-я A и B, P(A)>0 P(B)>0.

Тогда вероятность совместного появления событий A и B равна произведению вероятности одного из этих событий и условной вероятности другого, при условии, что первое произошло:

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) (2);

Док-во: по опр-ю цел-й вер-ти P(A|B) = , P(B|A) =

Замечание: ф-ла (2) применима и в том случае, когда одно из событий невозможное,

например: P(A) = 0 P(A|B) = 0 P(AB) = 0