Свойства производящей функции:

1. По пр. функции распределение восстанавливается однозначно по формуле:

dz , k=1,2, …

Или по формуле:

= (0)

е. отображение 𝜑(z), |z|≤1 является взаимно-однозначным.

2. Пр. функция связана с характеристической функцией соотношением (t)= ( )

3. Усл. нормировки 𝜑(1)=1

4. С помощью производящей функции можно вычислять мат. ож. =k, ∀k; 𝜑’(1)=M[X]

Док-во: = ; 𝜑’(z) = = =M[X]

5. M[ ]= 𝜑’’(1)+ 𝜑’(1)

Док-во: пусть для ∀k,

𝜑’’(z)= = - = M[ ]-M[X]

т.к. по св-ву (4) M[X]= 𝜑’(1), то M[ ]= 𝜑’’(1)+ 𝜑’(1)

6. У= где – независимая д.с.в. принимающая значения из множества N={????} (z)= (z)

Док-во: (z)=M = = (z)

38. Виды сходимости последовательностей случайных величин.

Пусть - послед-ть с.в. заданная на вероятностном пространстве

Пусть на этом пространстве задана с.в. X

Опр1: послед-ть с.в. наз-ся сход-ся по вероятности к с.в. X если для вер-ть

(1)

Опр2: послед-ть с.в. сходится почти наверное (почти всюду ,с вер-тью 1) и с.в. X если

(2) т.е это означает, что мн-во исходов для которых не сходится к имеет нулевую вер-ть

Опр3: посл-ть с.в. наз-ся сходящейся в среднем порядка к с.в. X

если (3)

если то сх-ть (3) наз-ся сходимостью в среднем квадратическом.

Сходимость в среднем порядка обозначается

Опр4: посл-ть с.в. наз-ся сходящейся по распределению к с.в. X если во всех точках x где F(x) непрерывна вып-ся усл.: (4)

39. Центральная предельная теорема.

Th: пусть – послед –ть независимых, одинаково распределенных с.в. с мат. ож-ием

и дисперсией

тогда при

(1)

ф-я стандартного норм. распр-я.

Док-во: пусть , утв-е теоремы означает, что

(нормальный закон распр-я)

подставим в

Пусть – характерист. ф-я центрированной с.в. тогда

(*) разложим характеристич. ф-ю в ряд Макларена:

Подставляем в разложение подставим в (*)

– характ. ф-я с.в. распределенной по нормальному закону с

и

по теореме единственности однозначное соответствие между

xарактеристич. ф-ей и ф-ей распр-я.

Т.о.

40. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Является следствием из центральной предельной теоремы

Теорема: - суммарное число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вер-ю успеха р и вер-ю неудачи q = 1-p. Тогда с ростом n пос-ть ф-ии распределения случайной величины сходится по распределению функции стандартного нормального распределение, т.е.

Док-во:

Пусть - число успехов в испытании Бернулли.

Тогда M[ ] = p, D[ ] = pq. Представим и, используя утверждение центральной предельной теоремы ( , где ф-я стандартного норм.распр-я ), приходим к утверждению теоремы.

41. Закон больших чисел: не-во Чебышева, теоремы Чебышева, Хинчина, Маркова.

Нер-во Чебыышева: Лемма: Пусть (Ω, A, P) – вер-е пр-во. Пусть есть с.в. Х с м.о. и дисперсия тогда ∀ℇ>0 справедливо P(|x- |≥ ℇ)≤ (1) нер-во Чеб-шева, оно утверждает, что ∀ℇ>0 вер-ть того, что с.в. отклонится от своего мат. ож. Не меньше, чем на ℇ, ограничена сверху величиной .

З-н больших чисел: Под этим назв-ием в т.в. ∃ группа Т., утверждающих, что среднее арифметич. с.в. сходится по вер-ти и неслучайной велич. при неограниченномувелич-ии числа слога-ых.

Т. Чебышева: (збч) Если посл-тьнезвав-ыходинакого распределённых с.в. имеющих конечные дисперсии, ограниченной одной и той же постоянной D[ ]≤C…D[ ]≤C, то ∀ℇ>0 {| - |<ℇ}=1

Д-во: в условиях теоремы D[ ]= ]=>D[ ]≤ согласно нер-ву Чебышева (1) имеем P{| - |<ℇ}≥1- ≥1- переходя к пределу получаем:

{| - |<ℇ}≥1, а т.к. вер-ть не может быть >1, то =1

Т. Хинчина: Если посл-ть попарно независимых с.в. такова, что M[ ]=…= M[ ]=m

D[ ]≤… ≤D[ ]≤cто∀ℇ>0 {| - m|<ℇ}=1 – это есть усл-иесх-ти по вер-ти m

Этот частный случай Т.Чеб-ва даёт основания правилу среднего арифметического.

Т. Маркова (з.н. бол-их чисел в общей формул-ке): Если посл-ть произвольных с.в. такова, что при n oo 0, то ∀ℇ>0 {| - |<ℇ}=1

Если с.в. попарно нез-мы, то усл-е Маркова принимает вид 0при n oo

Из Т.М. видно, что Т.Ч. является её частным случаем.

42. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона

Т. Бернулли: Если событие А происходит в каждом опыте с вер-ю Р(А)=р, то частота появления этого события сход-ся по вер-ти и p при n oo т.е. p

Д-во: Рассмотрим независ. с.в Число появлений события А в j-ом опыте

Ряд-распр-я для д.с.в имеет вид: M[ ]=p; D[ ]=pq, где q=1-p

Усл-ие Т. Хинчина выполняется => = pт.е. p – число появсл-ий события А в nопытах, деление на nдаёт частоту

Т. Б-лли утверждает устойчивость частоты при постоянных усл-ях опытов. При переменных условиях опытов так же ∃ устойчивость частоты.

Т.Пуассона: Если производится n- нез. опытов и вер-тьпоявл-я соб-я А в i-ом опыте равна

то при n oo частота соб-я А сход-ся по вер-ти и среднему арифметич-ому т.е. p

Д-во: с пом-ю Т. Чебышева: Пусть исследования пров-ся многократно, но изм-сяусл-я их проведения. Вер-ть зависит от условий, но сх-ся к средней вер-ти.