Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1-42.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
371.1 Кб
Скачать

1. Непрерывная с.В. Φ (X) – монотонная

Имеется непрерывная с.в. X с плотностью вероятностей f(X), с.в. Y= φ (x) (1). Требуется найти закон распределения с.в. Y. Пусть φ (x) – строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (a,b) всех возможных значений с.в. X. Функция распределения с.в. Y определяется по формуле G(Y)=P{Y<y} (2) Пусть функция φ (x) монотонно возрастает на всем участке возможных значений с.в. X

Из графика видно что событие {Y<y} эквив-но событию {X< ψ(y)}, где ψ(y)=x – функция, обратная к функции φ (x)=y. Из строгой монотонности φ (x) следует однозначность функции ψ(y). G(y)=P{Y<y}=P{X< ψ(y)}= (3) Дифференцируя (3) по y, входящей в верхний предел интеграла получим плотность распределения с.в. Y. g(y)= (4) Если φ (x) на (a,b) монотонно убывает, то событие {Y<y} эквивалентно событию {X> ψ(y)}. G(y)= (5). Дифференцируем (5) по y и получим g(y)= (6) плотность распределения. Так как плотность не может быть <0 то формулы (4) и (6) можно объединить: g(y)=f(ψ(y))*

*|ψ’(y)| (7)

2. Непрерывная с.В. Φ (X) не монотонная функция

Рассмотрим случай когда функция φ (x) на (a,b) не монотонна. В этом случае обратная функция x= ψ(y) неоднозначна. Число значений обратной функции ψ(y) зависит от того, какой y мы выбрали. Обозначим эти значения ψ1(y), ψ2(y),…,ψi(y)… Событие {Y<y} равносильно попаданию с.в. X в один из не перекрывающихся отрезков, отмеченных жирной линией, где соответствующая часть кривой y=φ(x) лежит ниже прямой y. В нашем случае это будут отрезки (a;ψ1(y)), (ψ2(y); ψ3(y)), (ψ4(y); ψ5(y)). Последний отрезок может кончаться в точке b, а может в одной из точек ψi(y). Попадание с.в. X в эти отрезки – события не совместные. По правилу сложения вероятностей имеем: G(y)=P{Y<y}=P{X ∈(a, ψ1(y)}+ P{X ∈(ψ2(y); ψ3(y))}+ P{X ∈(ψ4(y); ψ5(y))}+… ; G(y)=(1) Учитывая правила дифференцирования интеграла по переменной, входящей в него пределы получим : g(y)=f(ψ1(y)) ψ1’(y)-f(a) + f(ψ3(y)) ψ3’(y)- f(ψ2(y)) ψ2’(y) (2) В тех точках, где φ (x) пересекла прямую y убывает производная ψ’(y) отрицательна, где φ (x) возрастает ψ’(y) положительна. Производные от постоянных a и b равны 0 поэтому безразлично фигурируют ли точки a и B в виде конца или начала. Все члены в формуле (2) положительны и она принимает простой вид g(y)= f(ψi(y))|ψi’(y)| (3) где k-число значений обратной функции соответствующее данному у (ψ1(y)… ψk(y))

x1

x2

xn

p1

p2

pn

3. Дискретные с.в.

Рассмотрим когда X – д.с.в. с рядом распределения

φ(x1)

φ(x2)

φ(xn)

p1

p2

pn

Некоторое подобие ряда распределения с.в. Y=φ(x) даст таблица

Чтобы сделать из нее ряд распределения нужно:

1) расположить значения, стоящие в верхней строке в порядке возрастания

2) объединить те из них, которые окажутся равными

3) сложить соотв. вероятности

-2

-1

0

1

2

0.3

0.1

0.1

0.3

0.2

Полученный ряд и будет рядом распределения с.в. Y

Пример: дан ряд X, построить ряд распределения Y=X2

4

1

0

1

4

0.3

0.1

0.1

0.3

0.2



Y:

0

1

4

0.1

0.4

0.5

Решение: не упорядоченный ряд распределения имеет

Ряд распределения с.в.Y

вид

34. Характеристические функции. Определение и свойства характеристических функций.

Наряду с вещественными с.в. можем рассматривать и комплексные с.в.

Под комплексной с.в. X будем понимать функцию X=X1+iX2, где X1 и X2 – действит. с.в. (X1,X2) – случайный вектор; M[X]=M[X1]+iM[X2] Рассмотрим комплексные с.в.

x=x1+ix2 y=y1+iy2 Комплексные с.в. X и Y независимы если векторы (x1,x2) и (y1,y2) независимы, т.е. компоненты векторов независимы. M[XY]=M[X]M[Y] если X и Y независимые с.в.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]