18. Устойчивые многочлены. Устойчивость многочленов 1-й и 2-й степеней

Многочлен , где называется устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости : , .

Полагаем, что

Теорема Многочлен 1-й и 2-й степени устойчив тогда и только тогда, когда (при

a0 > 0) все его коэффициенты положительны.

Док:

Многочлен 1-й степени. Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами 1-й степени

, . Его корень равен .Очевидно, он будет лежать в левой полуплоскости (на самом деле на отрицательной полуоси оси Ox) тогда и только тогда, когда (при ) : . Итак, многочлен 1-й степени устойчив тогда и только тогда, когда все его коэффициенты положительны: ,

Многочлен 2-й степени. Рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами 2-й степени

, . Его корни равны . При , При .Поэтому чтобы был <0, нужно (при )выполнение:

Первый случай приводит к требованиям: ,

Для второго случая получаем такие неравенства: , . Итак, в любом случае, многочлен 2-й степени устойчив тогда и только

тогда, когда все его коэффициенты положительны: , , .

19. Необходимое условие устойчивости многочлена. Теорема Стодолы.

Теорема Пусть многочлен n-й степени с действительными коэффициентами

устойчив, . Тогда все его коэффициенты положительны.

док: Разложим многочлен на множители– многочлены степеней 1 и 2 (это всегда можно сделать): , где , а дискриминанты квадратных трёхчленов отрицательны. Поскольку множество корней совпадает со множеством корней всех входящих в его разложение многочленов первой-второй степеней, то устойчивость эквивалентна устойчивости всех многочленов его разложения.

Учитывая, что коэффициенты при старших степенях в каждой скобке

равны 1 > 0, то применив теорему Устойчивости многочленов 1-й и 2-й степеней(билет 18), получаем, что из устойчивости следует положительность всех коэффициентов каждой скобки, откуда сразу следует положительность всех коэффициентов . Обратное не верно, поскольку из положительности всех коэффициентов не следует положительность всех коэффициентов каждой скобки его разложения. Например, и корни у этого многочлена не все лежат в левой полуплоскости: , ,

20. Устойчивость и асимптотическая устойчивость нулевого решения линейной системы оду

Рассмотрим систему ОДУ: (21). Пусть - решение этой системы, и при оно удовлетворяет начальным условиям (22). Наряду с задачей Коши рассмотрим возмущённую задачу Коши: (23). Решение задачи Коши (21), (22) называется устойчивым по Ляпунову, если при малых возмущениях начальных условий решение задачи Коши меняется мало: . Для решения возмущённой задачи Коши (23) справедлива оценка . Решение задачи Коши (21), (22) называется асимптотически устойчивым, если при малых возмущениях начальных условий решение задачи Коши меняется мало и при больших t неограниченно приближается к решению невозмущённой задачи:

1. Решение задачи Коши(21), (22) является устойчивым по Ляпунову

2. Решение возмущённой задачи Коши(23) приближается к : .

Устойчивость нулевого решения линейной системы ОДУ

В этом пункте рассмотрим устойчивость нулевого решения однородной линейной системы

.Где A – матрица с постоянными элементами:

Аналогично случаю одного линейного уравнения n-го порядка, исследуем вид общего решения уравнения . Для этого найдём корни характеристического уравнения .где E – единичная матрица. Пусть – все различные корни характеристического уравне-

ния . Тогда общее решение будет линейной комбинацией выраже-

ний вида , где p не превосходит кратности соответствующего собственного значения

, а – некоторые векторы. Очевидно, что при нулевое решение асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда и неустойчиво, если Итак: вопрос об устойчивости нулевого решения линейной системы с по-

стоянными коэффициентами свёлся к исследованию вопроса о том, распо-

лагаются ли все корни характеристического уравнения в левой полуплос-

кости плоскости , или есть корни в правой полуплоскости.