7. Действительность собственных функций оператора шл.
Без ограничения общности можно считать, что все собственные функции задачи Штурма–Лиувилля действительнозначны.
Док:
Пусть функция y(x) = u(x) + iv(x) – комплекснозначная
собственная функция задачи Штурма–Лиувилля,
соответствующая собственному значению
.
Тогда равенство:
можно
переписать в виде:
Поскольку
в силу теоремы билета 3, а
в силу определения основного
дифференциального оператора билета 2.
Данное уравнения распадается на два,
для
и
,
.
Это означает, что функции u(x) и v(x) также являются собственными
функциями, соответствующими одному и тому же собственному значению .
По
теореме билета 5 о линейной зависимости
функций, соответствующие одному и тому
же значению
,
это означает, что u(x) и v(x) линейно зависимы,
т.е.
такое
что:
,
откуда сразу
,
либо
,
откуда сразу
.
Таким образом, введение комплекснозначных собственных функций не обо-
гащает систему всех собственных функций задачи Штурма–Лиувилля, а
лишь добавляет в неё линейно зависимые элементы.
8. Лемма о диссипативности
Пусть
f(x) – функция класса
(т.е. удовлетворяет классическим КУ).
Тогда
справедливо неравенство:
док:
Проверим неравенства :
,
Обоснуем первое неравенство. Рассмотрим три случая:
. Тогда
,
и неравенство превращается в равенство:
. Тогда
,
и неравенство превращается в равенство:
. Тогда
,
и неравенство превращается в равенство:
Второе доказывается аналогично
9. Неотрицательность собственных значений оператора шл. Предел последовательности собственных значений
Пусть q(x) > m. Тогда для всех собственных значений задачи Штурма–Лиувилля:
справедлива
оценка
Док:
Рассмотрим собственную функцию
y(x):
.
Имеем:
=
=
+
+
+
+
.
В силу
леммы о диссипативности слагаемое
правой части неотрицательно. Поэтому
справедливо:
с
другой стороны
.
откуда
оценка:
.
Предел последовательности собственных значений
Собственные
значения задачи Штурма–Лиувилля
образуют бесконечное множество, его
можно пронумеровать в порядке возрастания,
и полученная последовательность
:
10. Функция Грина краевой задачи. Теорема о существовании функции Грина: шаг1 (построение специальной фср).
Опр:
(1)
(2)
(3)
где
и
,
– заданные функции, причем
,
,
называется функция
,
удовлетворяющая требованиям:
,
где
;при любом фиксированном
и удовлетворяет однородному уравнению
(1):
при
при любом фиксированном первая производная
имеет
в точке
разрыв
первого рода, причём:
при любом фиксированном функция удовлетворяет краевым условиям по x:
,
Теорема
о существовании: Пусть
и
– заданные функции,
,
,
и однородная (т.е. при
)
задача (1) –(3) не имеет других решений,
кроме тождественного нуля. Тогда
существует функция Грина краевой задачи
(1) – (3).
док: первый шаг Построим функцию , и убедимся, что она удовлетворяет всем пунктам определения.
Найдем
ФСР
уравнения
(1) такую, чтобы
Рассмотрим вспомогательную задачу Коши:
;
Во-первых,
по ТСЕ решения задачи Коши(ТСЕ решения
задачи Коши для однородного линейного
уравнения гласит, что если все коэффициенты
уравнения непрерывны, а старший ещё и
отделён от нуля (в нашем случае это
условие
),
то при любых начальных данных в
произвольной фиксированной точке
решение
задачи Коши существует и притом
единственное), решение этих задач
существует, при
Назовём
их
Во-вторых, начальные данные мы подобрали так, чтобы
,
и
,
те выполнены условия (4)
Итак,
есть пара решений уравнения
,
удовлетворяющие каждое
своему
КУ. Убедимся, что пара
,
образует
ФСР – максимальную линейно
независимую систему решений уравнения (1). Поскольку (1) – уравнение
второго порядка, его ФСР должна состоять из двух решений. Поэтому оста-
лось проверить их линейную независимость. Предположим противное: они
линейно
зависимы, т.е.
(либо
)Тогда
функция
(либо, соответственно, ) удовлетворяет обоим КУ и, следовательно,
является решением однородной краевой задачи. По условию это означает,
что
,
что невозможно, так как мы её строили
как решение задачи
Коши,
удовлетворяющее начальным данным
,
Полученное противоречие гарантирует линейную независимость и Таким образом, – ФСР уравнения (1), причём выполняются условия (4).