35. Необходимое условие экстремума функционала

Докажем здесь аналог теоремы Ферма о локальном экстремуме

Теорема (Необходимое условие экстремума функционала)

Пусть – дифференцируемый по Гато функционал, достигающий на внутренней «точке» области определения своего экстремума. Тогда .

док: Зафиксируем «точку» и её некоторое приращение .Рассмотрим функцию одной переменной: . Очевидно, если в «точке» функционал достигает своего экстремума, например, максимума, то: . Но тогда максимума же достигает функция в точке. По теореме Ферма отсюда следует, что : . Учитывая определение вариации, имеем: