8. Метадам простай iтэрацыi рашыць слау:

Умовы збежнасцi (22) для кожнага раўнання выконваюцца: для кожнага радка маем 1+1<4. Прыводзiм сiстэму да выгляду, зручнага для выканання iтэрацый:

(23)

У якасцi пачатковага наблiжэння возьмем матрыцу C:

Першае наблiжэнне X⁽¹⁾ атрымаем, падставiўшы X⁽⁰⁾ у правую частку сiстэмы (23):

.

Такiм чынам, першае наблiжэнне:

.

Падстаўляем яго ў правую частку сiстэмы (23) i вылiчваем другое наблiжэнне:

Або:

Прымяняючы гэты алгарытм, атрымаем наступныя наблiжэннi:

i так далей.

Дакладнае рашэнне сiстэмы:

9 Метад Зэйдэля (метад палепшанай iтерацыі)

2. Метад Зэйдэля (метад палепшанай iтерацыі)

Метад Зэйдэля адрознiваецца ад метада простай iтэрацыi тым, што пры разлiку невядомай велiчынi k-ага наблiжэння ў правую частку сiстэмы (23) падстаўляюцца пераменныя k-ага наблiжэння, якiя ўжо вылiчаны на бягучым k-тым iтэрацыйным кроку з першага, другога, ... і-1 раунанняў , i пераменныя k-1-ага наблiжэння, атрыманыя на папярэднiм iтэрацыйным кроку. Напрыклад, формулы для разлiку першага наблiжэння X⁽¹⁾ ў разгорнутай форме для сiстэмы трэцяга парадку маюць выгляд:

У большасцi выпадкаў метад Зэйдэля дае лепшую збежнасць iтэрацыйнага працэсу ў параўнаннi з метадам простай iтэрацыi.

Прыклад 5. Рашыць сiстэму прыкладу 4 метадам Зэйдэля.

Выкарыстоўваючы сiстэму (23) i нулявое наблiжэнне X⁽⁰⁾=C, атрымаем першае наблiжэнне X⁽¹⁾:

Прымяняючы паслядоўна алгарытм Зэйдэля, атрымаем:

i так далей.

Параўноўваючы атрыманыя рэзультаты з дакладным рашэннем сiстэмы i з рэзультатамi метаду простай iтэрацыi, можна канстатаваць лепшую збежнасць метаду Зэйдэля ў параўнаннi з метадам простай iтэрцыi.

11 (Начало в 10)

U^ya вместо U

U^уа₃= –9,035 В;

U^уа₂=y₂₃U^уа₃=0,8( –9,035)= –7,228 В;

U^уа₁=y₁₂U^уа₂+y₁₃U^уа₃=0,2( –7,228)+0,4( –9,035)= –5,0596.В.

Теперь выполним наложение собственно аварийного режима на доаварийный в соответствии с формулой U_в^а =U_в+U_в^уа и получим узловые напряжения аварийного режима:

U^а₃=U₃+U^уа₃=9,035+(-9,035)=0 В;

U^а₂=U₂+U^уа₂=7,895+(-7,228)=0,667 В;

U^а₁=U₁+U^уа₁=7,193+(-5,0596)=2,1334 В;

По узловым напряжениям для аварийного режима рассчитаем токи в ветвях схемы (положительное направление - от узла с большим номером к узлу с меньшим номером):

I^а₁₀=(U^а₁ –U^а₀ –Е₁₀)/Z_1,0=(2,1334-0-5)/0,5=-5,7332 A;

…

I^а₃₁=(U^а₃ –U^а₁)/Z₃₁=(0 –2,1334/0,5=-4,2668 A.

В качестве контроля результатов отметим I^а_3,0 +I^а_3,1 +I^а₃₂=I₃

10 Электрычная інтэрпрытацыя Метада Гаўса

	j-номер удаленного узла n и k – номера узлов, соед. с узлом j

12

_{Дз е J – момант инерцыи ротару+ момант инерцыи турбины(кали яна падключана)}

_{- хуткасць вярчэння ротара}

_{- вуглавое паскарэнне ротара}

Таким чынам палучим систэму ДУ першага парадку:

13 (2 катушки)

Для таго, каб прывесці сістэму дыферэнцыяльных раунанняў да нармальнага віда зробім наступнае: Для таго, каб атрымаць падставім замест у чацьвёртае раўнанне сістэмы і выразім патрэбную велічыню:

Выразім із першага раунання сістэмы (1):

Выразім з другога раўнання сістэмы (1):

з улікам таго ,што

Сістэму дыферэнцыйных раўнанняў складзём з раўнанняў (2), (3), (4):

13 (2 конденсатора)

П асля замыкання ключа ў схеме атрымоўваецца два лінейна незалежных контура і адзін лінейна незалежны вузел. Дынаміка пераходнага рэжыму электрычнай сістэмы абумоўлена існаваннем ў ёй рэактыўных элементаў: індуктыўнасці L і кандэнсатараў C. Іх колькасць апрадзяляе парадак сістэмы дыферанцыяьных раўнанняў.

Саставім сістэму раўнанняў па законам Кірхгофа

(1)

Гэтая сістыма не з’яўляецца замкнутай, пагэтаму неабходна дапоўніць яе яшчэ двума раўнаннямі:

Трэба прывесци систэму ДУ да кананичнага выгляду: , таму што да такой формы написаны праграмы ликавага рашэння ДУ. Сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў (2), зведзеная да нармальнага(кананічнай) стану, наступная:

14 Пример. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Применяем формулу

Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:

i	0	1	2	3	4	5
xi	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
yi	1	1,1	1,22	1,362	1,528	1,721

15 Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты k_i.

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

i	xi	k		yi	yi
0	0	1	0,1000	0,1100	1
		2	0,1200
1	0,1	1	0,1210	0,1321	1,1100
		2	0,1431
2	0,2	1	0,1442	0,1564	1,2421
		2	0,1686
3	0.3	1	0,1699	0,1834	1,3985
		2	0,1968
4	0,4	1	0,1982	0,2131	1,5819
		2	0,2280
5	0,5				1,795

16 Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1.

Для i = 0 вычислим коэффициенты k_i.

Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.

i	xi	k		yi	yi
0	0	1	0,1000	0,1104	1
		2	0,1100
		3	0,1105
		4	0,1155
1	0,1	1	0,1210	0,1325	1,1104
		2	0,1321
		3	0,1326
		4	0,1443
2	0,2	1	0,1443	0,1569	1,2429
		2	0,1565
		3	0,1571
		4	0,1700
3	0.3	1	0,1700	0,1840	1,3998
		2	0,1835
		3	0,1842
		4	0,1984
4	0,4	1	0,1984	0,2138	1,5838
		2	0,2133
		3	0,2140
		4	0,2298
5	0,5				1,7976