4. Условия физической реализуемости входных функций (вход­ных сопротивлений Z(ip) и проводимостей Y(p).

Возникает вопрос: всякому ли выражению Z(p) можно со­поставить реальный, т. е. физически осуществимый двухполюс­ник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя » знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р (см. § 4.5).

При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p) должна обладать свойствами входного  сопротивления этих двухполюсников. Входные  функции таких четырехполюсников относятся к классу называемых положительных вещественных функций (ПБФ),которые  удовлетворяют   следующему  дополнительному  условию:

Re[Z(p)]≥0 или Re[Y(p)]≥0 при α>0.

Можно показать, что положительные вещественные функции всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица, степени которых отличаются не более, чем на единицу, т. е. нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р = 0 и p = ∞), то эти полюсы и нули являются вещественными и положи­тельными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух видов: LC-, RC- и .RL-цепи. Ограничения на вид используемых элементов накладывают дополнительные ограничения на входные функции. Так, нули и полюсы входных функций LC-цепей нахо­дятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обла­дают входные функции RC- и RL-цепей с той лишь разницей, что их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной по­луоси.

5. Условия физической реализуемости

 

Синтез электрических цепей можно выполнить во временной области, когда требования задаются к переходной или импульсной характеристике, и в частотной области, когда требования задаются к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При этом требования часто задаются только к АЧХ цепи, а ФЧХ не контролируется. Очевидно, не любая вещественная функция может быть реализована в виде временной характеристики цепи и не лю­бая комплексная функция может быть реализована в виде входной или передаточной функции.

Условия, при выполнении которых заданная функция может быть реализована как характеристика цепи, называются условиями физической реализуемости (УФР). Данные условия зависят от того, из каких элементов предполагается синтезировать цепь, т. е. УФР зависят от элементного базиса. Ниже будут рассматриваться линейные активные и пассивные -RLC-цепи с сосредоточенными и независящими от времени параметрами. Рассмотрим УФР данных цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций. В гл. 7 показано, что входные или передаточные функции являются дробно-рациональными функциями с вещественными коэффициен­тами (7.41):

Для того, чтобы дробно-рациональная функция с веществен­ными коэффициентами являлась с точностью до постоянного множителя передаточной функцией четырехполюсника, необхо­димо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям, описан­ным в § 7.4:

1)  полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица;

2)  степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя.

В терминах нулей и полюсов эти два условия могут быть сфор­мулированы следующим образом:

1)  полюсы передаточной функции должны находиться в левой полуплоскости;

2) отсутствуют полюсы в нуле и бесконечности.

На положение нулей никаких ограничений не накладывается. Эти два условия определяют условия устойчивой цепи.

Если некоторая дробно-рациональная функция удовлетворя­ет приведенным условиям, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Структура четырехполюсника может накладывать дополнитель­ные ограничения. Так часто представляют интерес четырехполюс­ники, не содержащие взаимных индуктивностей и имеющие общий провод между входным и выходным зажимами, т. е. трехполюсники или неуравновешенные четырехолюсники. Такие цепи должны дополнительно удовлетворять условиям Фиалкова — Герста, фор­мулируемым следующим образом: для трехполюсных цепей без взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной функции не отрицательны и не превышают соответствующих коэффициентов знаменателя. Это означает, что отсутствуют нули на положительной вещественной полуоси.

Дальнейшие ограничения, накладываемые на структуру четы­рехполюсника, приводят к дополнительным ограничениям на положение нулей. Так, нули лестничных схем могут находиться только в левой полуплоскости комплексной переменной р. Ограничения на свойства передаточных функций вызываются также видом эле­ментов. Так, в RC-цепях полюсы могут располагаться только на отрицательной вещественной полуоси. В лестничных RC-цепях на отрицательной вещественной полуоси располагаются как полюсы так и нули.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента ком­плексной передаточной функции. Если переменная р принимает только мнимые значения р =jω, то операторные функции превра­щаются в комплексные функции вида:

(16.6)

В синтезе цепей часто пользуются понятием квадрата передаточной функции   Это позволяет избавиться от иррациональных функций. На основании формул (16.1) —(16.4) легко показать, что квадрат модуля передаточной функции в общем виде может быть представлен следующим образом (7.45):

Функция D(ω) называется функцией угла или тангенс-функ­цией. УФР тангенс-функции следует из УФР операторных функ­ций. Тангенс-функция должна удовлетворять следующим условиям:

1) D(ω) — нечетная дробно-рациональная функция;

2) коэффициенты D(ω) должны быть вещественными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи.

Как уже отмечалось, в зависимости от конкретно решаемой задачи, электрические цепи удобно описывать либо частотными характе­ристиками, либо временными. Так, при построении многоканаль­ных систем передачи с частотным разделением каналов удобно пользоваться частотными характеристиками, а в цифровых систе­мах связи, где применяется временное разделение каналов, удобно описывать электрические цепи временными характеристиками. К временным характеристикам относятся (см. § 8.1) переходная g(t) и импульсная h(t) характеристики. Напомним, что переходная ха­рактеристика численно равна отклику (реакции) цепи на единичное воздействие 1(t), в качестве которого может быть либо ток, либо напряжение. Отклик также может быть либо током, либо напряжением, поэтому, как и в случае передаточных функций существует

четыре типа переходных характеристик (гл. 8) g_u(t), g_i(t), g_Y(t) g_z(t). Первые две характеристики являются безразмерными, третья имеет размерность проводимости,  а четвертая — сопротивления .

Импульсная характеристика численно равна отклику цепи на Функцию. Существует также четыре типа импульсных характеристик (гл. 8):  Как показано в гл. » импульсная и переходная характеристики выражаются одна через другую, поэтому они не являются независимыми (см § 8.1). Для описания цепи достаточно знать одну из них. Применение того или другого описания цепи зависит от конкретной задачи.

Условия физической реализуемости данных характеристик сле­дует из свойств операторных передаточных функций. Действительно, так как изображение по Лапласу переходной и импульсной характеристик имеет соответственно вид

Функция h(t), кроме перечисленных слагаемых, может содер­жать слагаемое δ(t) (см. (8.3)).

Слагаемое, приведенное в первой строке (16.7) соответствует простым вещественным, во второй строке — простым комплексно-сопряженным, в третьей кратным вещественным, а в четвертой -кратным комплексно-сопряженным полюсам передаточной функ­ции H(p).

На основании изложенного легко сформулировать УФР пере­ходных и импульсных характеристик: если h(t) и g(t) могут быть представлены в виде суммы перечисленных выше слагае­мых и при этом все коэффициенты являются вещественными, а α > 0, то h(t) и g(t) будут удовлетворять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций (вход­ных сопротивлений Zip) и проводимостей Y(p)).

Возникает вопрос: всякому ли выражению Z(p) можно со­поставить реальный, т. е. физически осуществимый двухполюс­ник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник то функция Z(p) должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя » знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р (см. § 4.5).

При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p) должна обладать свойствами входного  сопротивления этих двухполюсников. Входные  функции таких четырехполюсников относятся к классу называемых положительных вещественных функций (ПБФ),которые  удовлетворяют   следующему  дополнительному  условию:

Re[Z(p)]≥0 или Re[Y(p)]≥0 при α>0.

Можно показать, что положительные вещественные функции всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица, пени которых отличаются не более, чем на единицу, т. е. нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р = 0 и p = ∞), то эти полюсы и нули являются вещественными и положи­тельными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух видов: LC-, RC- и .RL-цепи. Ограничения на вид используемых элементов накладывают дополнительные ограничения на входные функции. Так, нули и полюсы входных функций LC-цепей нахо­дятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обла­дают входные функции RC- и RL-цепей с той лишь разницей, что их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной по­луоси.

3. Линейные устройства систем передачи информации. Предыду­щие главы посвящены в основном проблеме анализа электрических цепей. В них рассматривались методы анализа и на их основе изу­чались свойства электрических цепей. Другой проблемой является создание устройств и систем, обладающих заданными свойствами, что составляет содержание задачи синтеза электрических цепей. В последующих главах речь пойдет о синтезе конкретных линейных устройств, являющихся составной частью систем передачи ин­формации.

Электрические фильтры это четырехполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением пропускают колебания в определенном диапазоне (диапазонах) частот и практически не пропускают колебаний в других диапазонах.

На рис. 16.1 при­ведена типичная характеристика рабочего ослабления ФНЧ. Для данного примера ослабление в полосе частот 0 ... ω_п не превы­шает 1 дБ, а в полосе частот ω₃ ... ∞ ослабление превышает 40 дБ Полоса частот, в которой ослабление относительно мало, на­зывается полосой пропускания; полоса частот, в которой ослаб­ление относительно велико, называется полосой задерживания. Между полосами пропускания и задерживания находится полоса расфильтровки (переходная полоса). В этой полосе требования на ослабление не задаются. Электрические фильтры служат для выделения колебаний в необходимой полосе частот. Например, в антенне существуют колебания, вызванные работой многих ра­диостанций. Каждая радиостанция работает в своей полосе час­тот. Радиоприемник с помощью фильтров выделяет колебания в желаемом диапазоне частот. Для того , чтобы была возможность последовательно принимать различные радиостанции, фильтр необходимо перестраивать. Вращение ручки настройки радио­приемника приводит к смещению полос пропускания и задерживания. Та же идея положена в основу разделения телефонных каналов в аналоговых многоканальных системах передачи. Фильтрами можно формировать сигналы сложной формы, уменьшать пульсации напряжения или тока в источниках пита­ния.

Корректоры линейных искажений или просто корректоры — это четырехполюсники, служащие для компенсации линейных искажений. В § 9.6 приведены условия безыскаженной передачи. На практике эти условия выполняются далеко не всегда, вследст­вие чего возникают амплитудно-частотные и фазо-частотные ис­кажения. Для того чтобы обеспечить условия безыскаженной пе­редачи и применяются корректоры. Линейные искажения часто корректируются раздельно. Амплитудными корректорами ком­пенсируются амплитудно-частотные искажения, а фазовыми — фазо-частотные. Корректоры могут быть постоянными, когда их характеристики не меняются в процессе работы или автоматиче­скими (адаптивными), когда при изменении параметров среды Передачи (например линий) характеристики корректора автома­тически также изменяются.

Линии задержки — это четырехполюсники, которые в некотором диапазоне частот имеют с заданной степенью точности линейную  фазо-частотную   характеристику  или  постоянное  групповое время пробега. Линии задержки применяются как элемент уст­ройств, например, гармонических корректоров.

Требования к цепи, этапы синтеза. Требования к электриче­ской цепи можно разделить на основные и дополнительные. Основ­ные требования определяют целевое назначение синтезируемой це­пи. Электрические свойства линейной цепи полностью описыва­ются во временной области переходной g(t) или импульсной h(t) характеристиками, а в частотной области — амплитудно- и фазо-частотными характеристиками. Поэтому основные требования предъявляются либо к частотным, либо к временным характери­стикам будущей цепи.

Дополнительные требования зависят от условий работы созда­ваемых устройств. К ним относятся ограничения на массу и габа­риты, чувствительность характеристик к изменению элементов, температурную нестабильность, элементный базис (например, в ря­де случаев нежелательно применение катушек индуктивности), а также требования простоты процесса настройки в условиях произ­водства и т. д. Часть дополнительных требований носит обязатель­ный характер, а часть подлежат оптимизации (минимизации или максимизации) при прочих равных условиях. Так, возможен слу­чай, когда требования по чувствительности должны выполняться безусловно, а габариты и масса минимизируются.

В классической постановке задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации и задачу реализации.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении та­кой функции, которая, с одной стороны, удовлетворяет поставлен­ным требованиям, а с другой — удовлетворяет условиям физиче­ской реализуемости характеристик (временных или частотных) электрических цепей.

Решение задачи реализации заключается в нахождении элек­трической цепи, временная или частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи ап­проксимации.