21)Схема Бернулли. Предельная теорема Пуассона. Неравенство Прохорова.

Предельная теорема теории вероятностей, являющаяся частным случаем больших чисел закона. П. т. обобщает Бернулли теорему на случай независимых испытаний, вероятность появления в к-рых нек-рого события зависит от номера испытаний (т. н. схема Пуассона). Формулировка П. т. такова: если в последовательности независимых испытаний событие А наступает с вероятностями p_k, зависящими от номера испытания k, k=1,2, . . ., m_n/n - частота Ав первых писпытаниях, то при любом e>0 вероятность неравенства будет стремиться к 1 при

2) П. т.- предельная теорема теории вероятностей о сходимости биномиального распределения к Пуассона распределению:если Р_п(m) - вероятность того, что в писпытаниях Бернулли нек-рое событие Анаступает ровно траз, причем и вероятность Ав каждом испытании равна р, то при больших значениях n и 1/р вероятность Р_п (т).близка к Величина l=np равна среднему значению числа наступлений А в п испытаниях, а последовательность значений образует распределение Пуассона. П. т. была установлена С. Пуассоном [1] для схемы испытаний, более общей, чем схема Бернулли, когда вероятности наступления события Амогут меняться от испытания к испытанию так, что при Строгое доказательство П. т. в этом случае основано на рассмотрении схемы серий случайных величин такой, что в n-й серии случайные величины независимы и принимают значения 1 и 0 с вероятностями и р_n 1- р_п соответственно. Более удобна форма П. т. в виде неравенства: если

, то при

Неравенство Прохорова.

14. Вероятность произведения произвольных событий. Общая формула.

Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления.

Произведением (пересечением) событий А и В называется их совместное появление (рис). Обозначается произведение событий как , или .

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

Часть 2:

16. Многомерные дискретные случайные величины: определение, совместный закон распределения, одномерные и условные законы распределения.

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

16. Абсолютно непрерывные двумерные величины: двумерная, одномерные и условные плотности распределения

Одномерные плотности распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными плотностями распределения.

16. Плотность двумерного нормального распределения, смысл параметров распределения.

3.7 Интервальные оценки параметров распределений: определение , построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х1, х2,…, хп как одинаково распределенные независимые случайные величины Х1, Х2,…, Хп, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М() = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р () = 2Ф. Тогда , с учетом того, что , р () = 2Ф=2Ф( t )Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распреде-ленной случайной величины, если объем выборки п = 49, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45: t = 1,645. Тогда, или 2,471 < a < 3,129. Найден доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.