2). Метод касательных

Метод Ньютона, или метод касательных основан на вычислении не только значений функции, но и значений ее производной. Разложим f(х) в ряд Тейлора и отбросим члены ряда выше второго порядка:

f (х) = f (х0) + f’ (х₀)(х – x₀)

В этом приближении корень функции легко найти по формуле:

f (x) = 0, при x_i = x_i+1 – f (x₀)/f ' (x₀)

Для нелинейных функций это, конечно, не точное равенство, но способ получить значение, более близкое к корню. Таким образом, метод Ньютона состоит в построении последовательности итераций:

x₁ = x₀ – f (x₀)/ f ' (x₀)

x₂ = x₁ – f (x₁)/ f ' (x₁)

x_i+1 = x_i – f (x_i)/ f ' (x_i)

На какой итерации завершать процесс нахождения корня? Возможно два варианта: либо когда значение функции станет достаточно маленьким по абсолютной величине:

| f (x)| < eps, либо когда практически перестанет меняться значение х:

| f (x)/ f '(x)| < eps

| X_i+1 – X_i| <= eps

3). Метод простой итерации

Рассматриваемый метод реализует третий подход к решению задачи. Предварительно исходное уравнение f(х) = 0 преобразуют к виду φ(х)=х, что является частным случа­ем более общей структуры g(х)=f(x).Затем выбирают началь­ное значение х₀ и подставляют его в левую часть уравнения, но φ(x)≠х₀, поскольку x₀ взято произвольно и не является корнем уравнения.

Полученное φ(x)=x₁ рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в правую часть уравнения φ(х₁) и получают следующее значение х₂ (х₂ = φ(x₁) и т.д., в общем случае х_i+1 =φ(х_i). Получающаяся таким образом последовательность х₀, x₁, х₂, х₃, х₄,… при определенных услови­ях может сходиться к корню х^* (рис. 1.a).

Условие сходимости |φ’(x)| <= 1 на [а,b], причем, чем ближе модуль к нулю, тем выше окажется скорость сходимости к решению. В про­тивном случае последовательность расходится от искомого решения (“метод не сходится”).

На рисунке 2 приведён один из возможных случаев, когда итерационный

процесс не сходится. Видно, что последовательность х₀, x₁, х₂,… удаляется от

корня х^*. Это всегда будет иметь место в том случае, если тангенс угла наклона φ(x) в окрестности корня по модулю больше единицы.

Существуют различные способы преобразования уравнения f(x) = 0 к виду φ(x) = x; одни могут привести к выполнению условия сходимости всегда, другие – в отдельных случаях.

но он не всегда приводит к успеху. Существует другой способ, в соответствии с которым φ(х)=х-f(х)/к, причем k следует вы­бирать так, чтобы

Погрешность решения можно оценить из соотношения

|x^* - x_i| <= (q/(1 – q))*|X(i) – X(i+1)|, где q = max φ(х), на отрезке [a,b].

Вследствие этого для окончания вычислений в методе итера­ций применят соотношение (q/(q – 1))*|X(i) – X(i + 1)|<= ε, где ε — заданная погрешность решения.

Часто используют упрощенное условие окончания поиска |X(i) – X(i + 1)|<=ε не вычисляя максимальное значение производной, но в этом случае погрешность решения может не соответствовать заданной (т.е. быть больше или меньше).