§ 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Определение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами х, у, z.

Например, число родившихся мальчиков из ста новорожденных есть случайная величина X, которая имеет следующие возможные значения: х_}=0, х₂=1,х₃= 2, ...,хюо⁼ 99, х_]01=ЮО

.

Определение. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Сокращенно иногда такую величину будем обозначать ДСВ.

Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Сокращенно иногда такую величину будем обозначать НСВ.

§ 10. Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично, аналитически (в виде формулы) или графически.

При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

X х, х₂ х_п Р Pi Pi - Рп

где р_у + р₂+...+р_п= 1.

x 1 3 4 7

Пример. , при этом 0,1+0,4+0,2+0,3=].

р 0,1 0,4 0,2 0,3

§11. Биномиальный закон распределения.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не-появиться. Будем считать, что вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же и равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=l-p.

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли: р_п(к)=c^k_np^kqⁿ~^k. Эта формула является аналитическим выражением данного закона распределения.

Биномиальный закон может быть задан в виде таблицы:

»

X О 1 ... к ... п

Р C°_np°q" СУд-¹ ... C^k_np^kq"-^k ... С"_пР"_д⁰'

Пример. Монета брошена 3 раза. Написать в виде таблицы закон распределения дискретной случайной величины Х- числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» при каждом бросании монеты р = i, следовательно, вероятность непоявления «герба»

4 = 1-^ = 1-1 = 1. При трех бросаниях монеты «герб» может совсем не

появиться (т.е. появиться 0 раз), или появиться 1, 2или 3 раза. Таким образом, возможные значения Xтаковы: Х]=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли.

it {] YYi у 11 v

г> /п\ /->0 0 3 ^{1 1} 1 ^{1 1} г> 2 1 J! 1 1 ~ I J

PJ0) = C,p q = — =1-- = - Р, 2 =С,р о = =3-- = -

^{3 3} 0!-3!V2) \2J 8 8 ^{3 3} 2\-V\2) [2J 8 8

_m=d_Py =^fi]'fiT =з.1Л ,_>№._ClW. JifiYfiY .bi.1

^{3 3} l!-2! v2 )\2) 8 8 ^{3 3} 31-OlUJUJ 8 8

Напишем искомый закон распределения:

X 0 1 2 3

13 3 1

Для контроля правильности решения найдем р₁+р₂+р₃+р₄=-+-+-+-=\.

8 8 8 8