§2. Классификация событий.

Определение. Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту (испытанию), если при осуществлении данного опыта оно может наступить, а может не наступить.

Примеры событии:

• Появление «герба» в опыте с бросанием монеты,

• Выход бракованного изделия с конвейера предприятия,

• Выигрыш автомобиля по билету лотереи. Случайные события будем обозначать А, В, С, А] и т.д.

Определение. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Определение. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Определение. События называются несовместными , если наступление одного из них исключает наступление другого.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «5», «4» и «3» - события несовместные. Получение же этих оценок на трех разных экзаменах - совместные события.

Определение. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно должно произойти одно из этих событий.

Например, получение на экзамене оценок «5», «4» и «3» - эти события не образуют полную группу. А получение на экзамене оценок «5», «4», «3» и «2» - образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Например, появление «герба» и «решки» при бросании монеты - равновозможные события.

§3. Теоретико - множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей.

При аксиоматическом построении любой теории без определения вводятся основные объекты и отношения. В теории вероятностей таким объектом является вероятностное пространство, определяемое тройкой компонентов: (Д F, Р), где

Q («омега») - пространство (множество) всех возможных элементарных исходов некоторого испытания (т.е. пространство событий).

F - а («сигма») - алгебра событий, система подмножеств пространства элементарных исходов Q.

Р - вероятность.

Любое событие А рассматривается как некоторое подмножество множества Q, т.е. является элементом а - алгебры событий.

acicl, aef

Само пространство элементарных событий Q представляет собой событие, которое происходит всегда и, таким образом, является достоверным событием. То есть Q выступает в двух качествах: это множество всех элементарных событий и достоверное событие.

Ко всему пространству Q добавляется еще Ф, и, рассматриваемое как событие, является невозможным событием.

Определение. Суммой нескольких событий а,+а₂+...+а„ называется объединение множеств а_х \Ja₂ il.ua.

Таким образом, событие а_]+а₂+...+а_п наступает, если наступает хотя бы одно из событий а,,а₂,...,а_п.

Определение. Произведением нескольких событий а_га₂-...-а„ называется пересечение множеств а₁па₂п...па_п.

Таким образом, событие а_га₂-...-а„ наступает, если наступает каждое из событий a_va₂,-,A-

Определение. Противоположным к А событием А называется дополнение множества А до множества Q, т.е. a = q\a.

Таким образом, событие а наступает, если не наступает А

Определение. Событие А влечет за собой событие В, если А есть подмножество В, то есть а с в .

Пример. Рассмотрим испытание - бросание игральной кости (кубика).

Элементарными исходами являются исходы ш_г - выпало / очков, где

1б{i, 2, 3, 4, 5, 6}.

Тогда 0 = со₂, соз, <у₄, со₅, а>₆,}

F = {ф, q, Ц}, {со₂},..., {со₆}, Ц, },..., Ц, <у₆}, Ц, , <у₆},...}, Р(щ) = i.

6

Пусть событие - выпало четное число очков, а = {со₂, ®₄, <у_б}; событие 5 - выпало число очков, большее, чем 3, £ = <у₆}. Причем

Л + £ = {й>₂, <у₅, со₆], АВ = {й>₄, су₆}, Л = Ц, «з,

Аксиомы теории вероятностей.

1° Каждому событию А поставим в соответствие неотрицательное

число Р(А), называемое вероятностью события^. 2° Если события а,,а₂,... попарно несовместны,

то р(а_]+а₂+...) = р(а₁)+р(а₂)+.... Это аксиома счетной аддитивности. 2^/ Если множество q конечно, и события а_х,а₂ несовместны,

то р(л, +а₂) = Р(А_х) + Р(а₂). Это аксиома аддитивности. 3° P(Q) = 1 Вероятность достоверного события равна 1. Некоторые свойства вероятности.

1. р(а) + р(л) = 1

2. о<р(л)<1

3. р(а, +а₂) = р(а,)+р(а₂ ) - р(ав), где А иВ совместны или не совместны.

4. р(ф) = о Вероятность невозможного события равно 0.

5. р{а)<р(в), если а^ в (А влечет за собой В)

6. р(а + в)<р(а) + р(в)