§4. Классическое определение (классическая формула) вероятности.

Определение. Исход (случай) называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если наступление этого исхода влечет за собой наступление события А.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих

полную группу. То есть Р(А)=^-, где п_А - число благоприятствующих

исходов, п - общее число всех возможных исходов.

Пргшер 1. В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Из урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется черным (событие А).

Решение. Всего имеем п= 10 равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Благоприятным

иявляются п_А =6 исходов, так как в урне находятся 6 черных шаров. Тогда

Р(Л)=^ = £- = 0,6 п 10

Пример 2. В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 черных. Из урны наудачу извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется два белых и два черных шара, (событие А)

Решение. Два белых шара из имеющихся четырех белых можно

выбрать и, = с] = ^ = б способами. Два черных шара из имеющихся шести

черных можно выбрать п₂ =с₆² = ^ = 15 способами. Значит, по правилу

произведения, нужный набор из двух белых и двух черных шаров можно извлечь п_А =щ п₂ =6-15=90 способами; это число благоприятных исходов. Всего же 4 шара (без учета цвета этих шаров) из имеющихся десяти

можно извлечь п=с,⁴₀ = — = 210 способами. Тогда Р{А)=^=^С4'^Сб =—=-.

¹⁰ 4!-6! п с,⁴₀ 210 7

Пример 3. Даны 5 карточек с буквами «О», «П», «Р», «С», «Т». Какова вероятность, что из вынутых наугад и сложенных в ряд карточек получится слово «СПОРТ» ? (событие А)

Решение. Нужная комбинация букв, т.е. нужная перестановка, только одна. Значит, п_А=1. Число всех возможных исходов - это количество перестановок без повторений из 5 элементов, т.е.

п=Р5=51=120. Тогда p(^)=5i ₌ _L₌_L.

п Р₅ 120

Классическое определение вероятности рассматривалось как определение с момента возникновения этой науки (17 век) до середины 19 века. В настоящее время понятие вероятности вводится аксиоматически, а это определение следует рассматривать как метод вычисления вероятностей в случае, когда число элементарных исходов конечно.

§5. Статистическое определение вероятности.

Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. Поэтому используется другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях.

Пусть А - случайное событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт произведен п раз и при этом событие А

наступило в т случаях. Соотношение // = — называется частотой

п

наступления события А в рассматриваемой серии опытов.

Определение. Вероятность случайного события - это связанное с данным событием постоянное число, около которого колеблется частота наступления этого события в длительной серии опытов.

Приведенное определение не является математическим в строгом смысле этого слова, так как использует не определяемые в математике понятия «опыт», «колеблется около числа». Однако в дальнейшем теория будет строиться без использования этого определения. Но статистическое определение вероятности имеет важную роль не для теории, а для практического истолкования полученных теоретических результатов.

Например, если вероятность выигрыша в лотерею «спортлото 5 из 36» равна 2,65-10"⁶, то это значит, что в среднем из миллиона купленных билетов все 5 номеров будет угадано в 2 или 3 билетах.