5

ВВЕДЕНИЕ

В исследовании многих явлений наряду с контролируемыми факторами присутствуют случайные, неконтролируемые факторы, выражающие случайные изменения явления при его повторении. Иногда эти случайные факторы оказывают настолько сильное влияние, что результат явления однозначно не прогнозируется. Таковы явления микромира в физике, рождаемость и смертность людей, колебания курсов валют, время работы прибора до первого отказа, выигрыш в лотерею, результат бросания монеты. Для описания таких явлений и используют вероятностный метод исследования.

Явления с различными возможными исходами называются случайными.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Интуитивные вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами (Демокрит, Эпикур и др.). Как наука теория вероятностей стала развиваться с середины 17 века в работах французских математиков Пьера Ферма, Блеза Паскаля (его же закон Паскаля в физике), голландского математика Христиана Гюйгенса. Их работы в основном были построены на материале азартных игр. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли русские математики 19 века Пафнутий Львович Чебышев, Андрей Андреевич Марков, Александр Михайлович Ляпунов.

Общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было разработано советским академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1936 году. Предложенная им аксиоматика поставила понятие вероятности на строгую математическую основу, в результате чего теория вероятностей окончательно укрепилась как полноправная математическая дисциплина.

§1. Элементы комбинаторики.

Перестановки (без повторений) - это комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов, отличающиеся только порядком их расположения. Число таких перестановок Р„=п!

Пример. Сколько различных пятизначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Так как все цифры различны, то используем перестановки (без повторений). Таких чисел можно составить Р₅=5!=1-2-3-4-5=120

Перестановки с повторениями - это комбинации, состоящие из одних и тех же п элементов, отличающиеся только порядком их расположения. Если среди п элементов пi элементов первого вида, п₂ - второго,..., п_к- к-то вида, причем П]+п₂+... Тогда число таких

и'

перестановок р_п(п_х,п₂,...,п_к) =

Пример. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «водород»?

Всего букв и=7, из них П]=3 букв «о», п₂=2 букв «д», п₃=1 букв «в» и п₄=1 букв «р». Тогда число таких перестановок с повторениями равно

р = — _1-2-3-4-5-6-7_

⁷ 3!-2!-1!-1! 1-2-3-1-2-м

Размещения (без повторений) - это комбинации из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом

элементов, либо их порядком (,т<п). Число таких размещений А™ =

(п-т)\

Пример. Сколько различных трехзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Так как все цифры различны, то используем размещения (без

повторений). Таких чисел можно составить а\ = —— =¹'²'³'⁴'⁵ = 60. ^ ^{7 5} (5-3)! 1-2

Размещения с повторениями - это комбинации из п элементов по

т элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их

порядком. Число таких размещений с повторениями А™ = п'".

Пример. Сколько различных трехзначных чисел с любыми цифрами

можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Так как все цифры любые, т.е. могут повторяться, то используем

размещения с повторениями. Таких чисел можно составить а] = 5³ =125.

Сочетания - это комбинации из п различных элементов по т

элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (т.е. только

составом элементов), (т<п). Число таких сочетаний с; = ^п'

т\{п-т)\

Замечания.

п е n U {о}

р_п, р_п(п_х,п₂,...,п_к) А™, А™, с; - натуральные числа.

По определению п!=1 -2-3-...-п, 11=1, 0!=1.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов щ способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п₂ способами, то пару объектов (АВ) можно выбрать п=пj п₂ способами.

»

Пример. В группе 25 студентов, из которых 15 девушек и 10 юношей. Сколькими способами можно составить спортивную команду, в которой 3 девушки и 3 юноши, из студентов этой группы?

Трех девушек можно выбрать из имеющихся 15-ти

п, = сК =———=^12!"¹³"¹⁴"¹⁵ =455 способами. Трех юношей можно выбрать из ^{1 15} 3!(15-3)! 1 • 2-3-12! ^{r г}

имеющихся 10-ти я.=с,³₀ =——— = ^7!'⁸'⁹'¹⁰=120 способами. Тогда команду

^{2 10} 3!(10-3)! 1-2-3-7! ^

можно составить п = п_хп₂ =455-120 = 54600 способами.