18. Структура общего решения линейных систем ду

Структура общего решения линейных однородных систем ДУ: линейная комбинация _j x_j n – линейно независимых решений X₁ , X₂ , … , X_n линейной однородной системы L [X] = 0 с непрерывными на отрезке a ≤ t ≤ b коэффициентами a_ij (t) является общим решением этой линейной однородной системы на отрезке a ≤ t ≤ b.

Структура общего решения линейных неоднородных систем ДУ: общее решение на отрезке a ≤ t ≤ b линейной неоднородной системы ДУ с непрерывными на этом отрезке правыми частями равно сумме общего решения соответствующей линейной однородной системы ДУ и частного решения неоднородной системы ДУ.

19. Линейные однородные и неоднородные системы ду с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

В векторной форме: dY/dx = AY, где

Характеристическое уравнение:

или det (A – λE) = 0.

Общее решение этой системы имеет вид

подставив получаем

Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид: b₁

dY/dx = AY + B, где B=b₂

b₃

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

20. Числовые ряды. Основные свойства

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

_n = u₁ + u₂ + … + u_n + … , (1) где u₁ , u₂ , … , u_n , … - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, u_n – общим членом ряда.

Суммой первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n , т.е. S_n = u₁ + u₂ + … + u_n .

Рассмотрим частичные суммы S₁ = u₁, S₂ = u₁ + u₂, S₃ = u₁ + u₂ + u₃, … Если существует конечный предел S = _n последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = _n .

Если _n не существует или _n = ∞, то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Ряд u_{n + 1} + u_{n + 2} + … = _k называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов.

Свойства:

1) Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

_n = cu₁ + cu₂ + … + cu_n + … , (2) где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и c ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

2) Если сходится ряд (1) и сходится ряд _n , а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды

_n ± υ_n), причем сумма каждого равна соответственно S₁ ± S₂ .

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.